Free download ebook, download ebook disini lagi… belajar belajar…. yukkk marii….
Gambaran Hamba Pilihan
Inilah sifat mereka. Ketika orang-orang bodoh melontarkan ucapan buruk, mereka tidak membalas dengan ucapan yang sama, namun mema’afkan. Senantiasa berkata yang baik, tidak terprovokasi oleh kejahilan orang tersebut. ‘Ibadurrahman (hamba-hamba Ar Rahman sejati). Sosok-sosok pilihan, pribadi dambaan. Mereka dilansir secara tersendiri dalam lembaran-lembaran firman Allah subhanahu wata’ala. Merekalah yang mendapat pujian khusus dari-Nya.
Lalu bagaimana dengan karakteristik hamba-hamba yang memiliki kedudukan mulia tersebut? Ikuti sajian yang berikut! Di antara sifat dan karakter yang melekat pada mereka adalah :
TAWADHU’ (RENDAH HATI)
Allah subhanahu wata’ala menggambarkan keadaan mereka dalam firmanNya, “ (ialah) orang-orang yang berjalan di atas bumi dengan rendah hati” ( Al-Furqan : 63 )
Sifat pertama seorang hamba yang menyandang gelar “ ‘ibadurrahman adalah tawadhu’. Tatkala berjalan di atas bumi ini mereka sangat enteng dan ringan, tidak direkayasa, tidak sombong, ataupun angkuh. Tidak berjalan dengan sangat cepat yang menunjukkan sikap suka mengentengkan dan kasar, juga tidak berjalan dengan sangat pelan yang menunjukkan sifat malas dan kumal. Namun insan-insan pilihan ini berjalan dengan ringan, penuh dengan semangat, tekad, kelelakian, dan jiwa muda.
Merekalah yang mengimplementaskan firmanNya , “ Dan sederhanakanlah kamu dalam berjalan.” (Luqman : 19 ).
Maknanya adalah sedang-sedang saja dalam semua urusan, tidak berlebihan atau keterlaluan sekali.
‘Ibadurrahman berjalan di pelosok bumi untuk mencari rizki dan tuntutan hidup dengan penuh kelembutan dalam koridor yang diperkenankan Allah subhanahu wata’ala. Tidak rakus, tamak, menyia-nyiakan kewajiban, melakukan hal-hal yang diharamkan, atau pun berbuat mubadzir.
Mereka teramat jauh dari sikap keras, melecehkan orang lain, sombong, berbangga, dan berbesar diri. Mereka tidak berbuat kerusakan di muka bumi, mencari ketinggian, lebih mendahulukan keuntungan duniawi yang fana, tidak berusaha semata hanya untuk mengumpulkan harta dan bersenang-senang dengan kenikmatan kehidupan duniawi.
RIFQ (LEMAH LEMBUT)
Karakter yang berikutnya adalah sebagaimana firman-Nya, “ Dan apabila orang-orang jahil menyapa mereka, mereka mengucapkan kata-kata (yang mengandung) keselamatan.” ( Al Furqan : 63)
Inilah sifat mereka. Ketika orang-orang bodoh melontarkan ucapan buruk, mereka tidak membalas dengan ucapan yang sama, namun mema’afkan. Senantiasa berkata yang baik, tidak terprovokasi oleh kejahilan oran tersebut, malah, mereka mampu menahan lisan dan emosi.
Yang menjadi patokan mereka dalam hal ini adalah Nabi shallallaahu ‘alaihi wasallam, insan paling lemah lembut. Begitu indah satu kisah yang menunjukan keagungan beliau shallallaahu ‘alaihi wasallam, “Suatu ketika ada seorang Arab Badui yang datang kepada Rasulullah shallallaahu ‘alaihi wasallam dan berkata kasar, lalu kaum muslimin marah dan ingin memberinya pelajaran, namn hal itu dicegah oleh beliau. Beliau membalas sikap kasar itu dengan kasih sayang dan lemah lembut.” (Hadits Muttafaqun ‘alaih).
BANYAK BERSUJUD DAN BERDIRI
Allah meneruskan gambaran pribadi ini dalam firman-Nya, “Dan orang yang melalui malam hari dengan bersujud dan berdiri untuk Rabb mereka.”(Al Furqan : 64).
Allah menyebut para hamba-Nya sebagai orang yang mencintai malam hari dengan melakukan ibadah. Mereka bangun saat orang-orang sedang terlelap tidur, waspada saat orang-orang lengah, sibuk menyongsong Rabb mereka, mengantungkan jiwa dan angota badan mereka kepada-Nya. Manakala yang lain terlena dan merasa mantap dengan kehidupan duniawi, mereka menginginkan ‘Arsy ar-Rahman sebab mereka mengetahui bahwa ibadah di kegelapan malam dapat menjauhkan mereka dari sifat riya dan minta dipuji. Ibadah di malam hari juga membangkitkan kebahagiaan di hati dan ketenangan bagi jiwa serta penerangan bagi penglihatan mereka.
Saat berdiri di hadapan Allah dan mengarahkan wajah mereka kepada-Nya, mereka merasakan kelezatan dan kebahagiaan yang tak terkira. Tiada lagi rasa manis setelah manisnya beribadah kepada Allah , bermesra, dan melakukan kontak dengan-Nya. Melakukan Qiyamullail merupakan sifat asli ‘ibadurrahman. Allah menyebut mereka dengan sifat itu dalam banyak ayat dan menganjurkan para Nabi-Nya untuk melakukan hal itu.
TAKUT NERAKA
Sebagaimana firman-Nya, “Dan orang-orang yang berkata, ‘Ya Rabb kami, jauhkan adzab Jahannam dari kami, sesungguhnya adzabnya itu adalah kebinasaan yang kekal. Sesungguhnya Jahannam itu seburuk-buruk tempat menetap dan tempat kediaman.” (Al-Furqan : 65-66).
Sekalipun ‘ibadurrahman sangat ta’at dan hari mereka dipenuhi dengan ketakwaan, namun mereka senantiasa merasa amalan dan ibadah mereka masih kurang. Mereka tidak melihat hal itu sebagai jaminan dan pemberi rasa aman dari api neraka bila saja tidak mendapatkan curahan karunia dan rahmat-Nya yang dengannya mereka terhindar dari adzab Jahannam. Karena itu, mereka selalu terlihat takut, cemas dan khawatir dengan adzab Jahannam.
Mereka selalu memohon kepada Allah subhanahu wata’ala agar Dia menghindarkan mereka dari adzab Jahannam seluruhnya, baik adzab yang dirasakan penghuni abadinya ataupun penghuni sementaranya. Inilah sifat setiap mukmin ang bersungguh-sungguh dalam berbuat ta’at dan takut akan adzab Allah subhanahu wata’ala sebagaimana disebutkan dalam firman-Nya yang lain, “ Dan orang-orang yang takut terhadap adzab Rabbnya. Karena sesunguhnya adzab Rabb mereka tidak dapat orang merasa aman (dari kedatangannya).” (Al-Ma’arj : 27, 28 ).
EKONOMIS, TIDAK BOROS
Allah subhanahu wata’ala mengatakan, “ Dan orang-orang yang apabila membelanjakan (harta) merka tidak berlebih-lebihan, dan tidak (pula) kikir, dan adalah (pembelanjaan itu ) di tengah-tengah antara yang demikian.” (Al-Furqan : 7)
‘Ibadurrahman bukanlah orang-orang yang berbuat mubadzir, membelanjakan harta melewati batas keperluan. Karena orang-orang yang berbuat mubadzir adalah saudara-saudara syetan. Syetan selalu menyuruh berbuat keji dan munkar. Mereka juga mengetahui bahwa mereka bertanggungjawab di hadapan Allah subhanahu wata’ala terhadap harta mereka; dari mana mereka peroleh dan kepada siapa mereka infakan. Mereka juga tidak pernah kikir terhadap diri sendiri dan keluarga mereka, dalam arti teledor memberikan hak mereka dan tidak berinfaq untuk hal yang telah diwajibkan Allah subhanahu wata’ala, sebab mereka mengetahui bahwa Allah subhanahu wata’ala telah mencela kekikiran dan sifat bakhil. Jiwa nan suci menilai buruk sifat bakhil dan mengindari pelakunya.
Metode berinfaq ‘ibadurrahman adalah moderat dan pertengahan, antara bakhil dan boros. Mereka berada di puncak pertengahan antara boros dan bakhil. Mereka meletakkan ayat Allah subhanahu wata’ala, “ Dan janganlah kamu jadikan tanganmu terbelenggu pada lehermu dan janganlah kamu terlalu mengulurkannya karena itu kamu menjadi tercela dan menyesal.” (Al-Isra’: 29)
Maksudnya janganlah kita memiliki sifat bakhil, yang bermuara tidak mau memberi sesuatu kepada siapa pun. Jangan pula bersifat boros dalam mengeluarkan harta, hingga melebihi kadar kemampuan yang ada pada kita. Namun bersifat tengah antara boros dan kikir, itulah hamba yang bijaksana lagi mulia.
Sumber : Shifaat ‘Ibaadirrahman Fii Al-Qu’an, disusun oleh Bagian Ilmiah penerbit Darul Wathan.
Disalin ulang dari majalah Elfata edisi 06 volume 07 tahun 2007 hal 21-23.
Lalu bagaimana dengan karakteristik hamba-hamba yang memiliki kedudukan mulia tersebut? Ikuti sajian yang berikut! Di antara sifat dan karakter yang melekat pada mereka adalah :
TAWADHU’ (RENDAH HATI)
Allah subhanahu wata’ala menggambarkan keadaan mereka dalam firmanNya, “ (ialah) orang-orang yang berjalan di atas bumi dengan rendah hati” ( Al-Furqan : 63 )
Sifat pertama seorang hamba yang menyandang gelar “ ‘ibadurrahman adalah tawadhu’. Tatkala berjalan di atas bumi ini mereka sangat enteng dan ringan, tidak direkayasa, tidak sombong, ataupun angkuh. Tidak berjalan dengan sangat cepat yang menunjukkan sikap suka mengentengkan dan kasar, juga tidak berjalan dengan sangat pelan yang menunjukkan sifat malas dan kumal. Namun insan-insan pilihan ini berjalan dengan ringan, penuh dengan semangat, tekad, kelelakian, dan jiwa muda.
Merekalah yang mengimplementaskan firmanNya , “ Dan sederhanakanlah kamu dalam berjalan.” (Luqman : 19 ).
Maknanya adalah sedang-sedang saja dalam semua urusan, tidak berlebihan atau keterlaluan sekali.
‘Ibadurrahman berjalan di pelosok bumi untuk mencari rizki dan tuntutan hidup dengan penuh kelembutan dalam koridor yang diperkenankan Allah subhanahu wata’ala. Tidak rakus, tamak, menyia-nyiakan kewajiban, melakukan hal-hal yang diharamkan, atau pun berbuat mubadzir.
Mereka teramat jauh dari sikap keras, melecehkan orang lain, sombong, berbangga, dan berbesar diri. Mereka tidak berbuat kerusakan di muka bumi, mencari ketinggian, lebih mendahulukan keuntungan duniawi yang fana, tidak berusaha semata hanya untuk mengumpulkan harta dan bersenang-senang dengan kenikmatan kehidupan duniawi.
RIFQ (LEMAH LEMBUT)
Karakter yang berikutnya adalah sebagaimana firman-Nya, “ Dan apabila orang-orang jahil menyapa mereka, mereka mengucapkan kata-kata (yang mengandung) keselamatan.” ( Al Furqan : 63)
Inilah sifat mereka. Ketika orang-orang bodoh melontarkan ucapan buruk, mereka tidak membalas dengan ucapan yang sama, namun mema’afkan. Senantiasa berkata yang baik, tidak terprovokasi oleh kejahilan oran tersebut, malah, mereka mampu menahan lisan dan emosi.
Yang menjadi patokan mereka dalam hal ini adalah Nabi shallallaahu ‘alaihi wasallam, insan paling lemah lembut. Begitu indah satu kisah yang menunjukan keagungan beliau shallallaahu ‘alaihi wasallam, “Suatu ketika ada seorang Arab Badui yang datang kepada Rasulullah shallallaahu ‘alaihi wasallam dan berkata kasar, lalu kaum muslimin marah dan ingin memberinya pelajaran, namn hal itu dicegah oleh beliau. Beliau membalas sikap kasar itu dengan kasih sayang dan lemah lembut.” (Hadits Muttafaqun ‘alaih).
BANYAK BERSUJUD DAN BERDIRI
Allah meneruskan gambaran pribadi ini dalam firman-Nya, “Dan orang yang melalui malam hari dengan bersujud dan berdiri untuk Rabb mereka.”(Al Furqan : 64).
Allah menyebut para hamba-Nya sebagai orang yang mencintai malam hari dengan melakukan ibadah. Mereka bangun saat orang-orang sedang terlelap tidur, waspada saat orang-orang lengah, sibuk menyongsong Rabb mereka, mengantungkan jiwa dan angota badan mereka kepada-Nya. Manakala yang lain terlena dan merasa mantap dengan kehidupan duniawi, mereka menginginkan ‘Arsy ar-Rahman sebab mereka mengetahui bahwa ibadah di kegelapan malam dapat menjauhkan mereka dari sifat riya dan minta dipuji. Ibadah di malam hari juga membangkitkan kebahagiaan di hati dan ketenangan bagi jiwa serta penerangan bagi penglihatan mereka.
Saat berdiri di hadapan Allah dan mengarahkan wajah mereka kepada-Nya, mereka merasakan kelezatan dan kebahagiaan yang tak terkira. Tiada lagi rasa manis setelah manisnya beribadah kepada Allah , bermesra, dan melakukan kontak dengan-Nya. Melakukan Qiyamullail merupakan sifat asli ‘ibadurrahman. Allah menyebut mereka dengan sifat itu dalam banyak ayat dan menganjurkan para Nabi-Nya untuk melakukan hal itu.
TAKUT NERAKA
Sebagaimana firman-Nya, “Dan orang-orang yang berkata, ‘Ya Rabb kami, jauhkan adzab Jahannam dari kami, sesungguhnya adzabnya itu adalah kebinasaan yang kekal. Sesungguhnya Jahannam itu seburuk-buruk tempat menetap dan tempat kediaman.” (Al-Furqan : 65-66).
Sekalipun ‘ibadurrahman sangat ta’at dan hari mereka dipenuhi dengan ketakwaan, namun mereka senantiasa merasa amalan dan ibadah mereka masih kurang. Mereka tidak melihat hal itu sebagai jaminan dan pemberi rasa aman dari api neraka bila saja tidak mendapatkan curahan karunia dan rahmat-Nya yang dengannya mereka terhindar dari adzab Jahannam. Karena itu, mereka selalu terlihat takut, cemas dan khawatir dengan adzab Jahannam.
Mereka selalu memohon kepada Allah subhanahu wata’ala agar Dia menghindarkan mereka dari adzab Jahannam seluruhnya, baik adzab yang dirasakan penghuni abadinya ataupun penghuni sementaranya. Inilah sifat setiap mukmin ang bersungguh-sungguh dalam berbuat ta’at dan takut akan adzab Allah subhanahu wata’ala sebagaimana disebutkan dalam firman-Nya yang lain, “ Dan orang-orang yang takut terhadap adzab Rabbnya. Karena sesunguhnya adzab Rabb mereka tidak dapat orang merasa aman (dari kedatangannya).” (Al-Ma’arj : 27, 28 ).
EKONOMIS, TIDAK BOROS
Allah subhanahu wata’ala mengatakan, “ Dan orang-orang yang apabila membelanjakan (harta) merka tidak berlebih-lebihan, dan tidak (pula) kikir, dan adalah (pembelanjaan itu ) di tengah-tengah antara yang demikian.” (Al-Furqan : 7)
‘Ibadurrahman bukanlah orang-orang yang berbuat mubadzir, membelanjakan harta melewati batas keperluan. Karena orang-orang yang berbuat mubadzir adalah saudara-saudara syetan. Syetan selalu menyuruh berbuat keji dan munkar. Mereka juga mengetahui bahwa mereka bertanggungjawab di hadapan Allah subhanahu wata’ala terhadap harta mereka; dari mana mereka peroleh dan kepada siapa mereka infakan. Mereka juga tidak pernah kikir terhadap diri sendiri dan keluarga mereka, dalam arti teledor memberikan hak mereka dan tidak berinfaq untuk hal yang telah diwajibkan Allah subhanahu wata’ala, sebab mereka mengetahui bahwa Allah subhanahu wata’ala telah mencela kekikiran dan sifat bakhil. Jiwa nan suci menilai buruk sifat bakhil dan mengindari pelakunya.
Metode berinfaq ‘ibadurrahman adalah moderat dan pertengahan, antara bakhil dan boros. Mereka berada di puncak pertengahan antara boros dan bakhil. Mereka meletakkan ayat Allah subhanahu wata’ala, “ Dan janganlah kamu jadikan tanganmu terbelenggu pada lehermu dan janganlah kamu terlalu mengulurkannya karena itu kamu menjadi tercela dan menyesal.” (Al-Isra’: 29)
Maksudnya janganlah kita memiliki sifat bakhil, yang bermuara tidak mau memberi sesuatu kepada siapa pun. Jangan pula bersifat boros dalam mengeluarkan harta, hingga melebihi kadar kemampuan yang ada pada kita. Namun bersifat tengah antara boros dan kikir, itulah hamba yang bijaksana lagi mulia.
Sumber : Shifaat ‘Ibaadirrahman Fii Al-Qu’an, disusun oleh Bagian Ilmiah penerbit Darul Wathan.
Disalin ulang dari majalah Elfata edisi 06 volume 07 tahun 2007 hal 21-23.
Ibuku seorang Pembohong
Dapat message inspiratif sekali dari seorang kawan di Facebook tentang Ibu :), saya share disini yah…
Sukar untuk orang lain percaya, tapi itulah yang terjadi, ibu saya memang seorang pembohong!. Sepanjang ingatan saya sekurang-kurangnya 8 kali ibu membohongi saya. Saya perlu catatkan segala pembohongan itu untuk dijadikan renungan anda sekalian. Cerita ini bermula ketika saya masih kecil. Saya lahir sebagai seorang anak lelaki dalam sebuah keluarga sederhana. Makan minum serba kekurangan.
Pembohongan Ibu yang Pertama
Kami sering kelaparan. Adakalanya, selama beberapa hari kami terpaksa makan ikan asin satu keluarga. Sebagai anak yang masih kecil, saya sering merengut. Saya menangis, ingin nasi danlauk yang banyak. Tapi ibu pintar berbohong. Ketika makan, ibu sering membagikan nasinya untuk saya. Sambil memindahkan nasi ke mangkuk saya, ibu berkata : “Makanlah nak ibu tak lapar.”
Pembohongan Ibu yang Kedua
Ketika saya mulai besar, ibu yang gigih sering meluangkan waktu senggangnya untuk pergi memancing di sungai sebelah rumah. Ibu berharap dari ikan hasil pancingan itu dapat memberikan sedikit makanan untuk membesarkan kami. Pulang dari memancing, ibu memasak ikan segar yang mengundang selera. Sewaktu saya memakan ikan itu, ibu duduk disamping kami dan memakan sisa daging ikan yang masih menempel di tulang bekas sisa ikan yang saya makan tadi.
Saya sedih melihat ibu seperti itu. Hati saya tersentuh lalu memberikan ikan yg belum saya makan kepada ibu. Tetapi ibu dengan cepat menolaknya. Ibu berkata : “Makanlah nak, ibu tak suka makan ikan.”
Pembohongan Ibu yang Ketiga
Di awal remaja, saya masuk sekolah menengah. Ibu biasa membuat kue untuk dijual sebagai tambahan uang saku saya dan abang. Suatu saat, pada dinihari lebih kurang pukul 1.30 pagi saya terjaga dari tidur. Saya melihat ibu membuat kue dengan ditemani lilin di hadapannya. Beberapa kali saya melihat kepala ibu terangguk karena ngantuk. Saya berkata : “Ibu, tidurlah, esok pagi ibu kan pergi ke kebun pula.” Ibu tersenyum dan berkata : “Cepatlah tidur nak, ibu belum ngantuk.”
Pembohongan Ibu yang Keempat
Di akhir masa ujian sekolah saya, ibu tidak pergi berjualan kue seperti biasa supaya dapat menemani saya pergi ke sekolah untuk turut menyemangati. Ketika hari sudah siang, terik panas matahari mulai menyinari, ibu terus sabar menunggu saya di luar. Ibu seringkali saja tersenyum dan mulutnya komat-kamit berdoa kepada Illahi agar saya lulus ujian dengan cemerlang. Ketika lonceng berbunyi menandakan ujian sudah selesai, ibu dengan segera menyambut saya dan menuangkan kopi yang sudah disiapkan dalam botol yang dibawanya. Kopi yang kental itu tidak dapat dibandingkan dengan kasih sayang ibu yang jauh lebih kental. Melihat tubuh ibu yang dibasahi peluh, saya segera memberikan cawan saya itu kepada ibu dan menyuruhnya minum. Tapi ibu cepat-cepat menolaknya dan berkata : “Minumlah nak, ibu tak haus!”.
Pembohongan Ibu yang Kelima
Setelah ayah meninggal karena sakit, selepas saya baru beberapa bulan dilahirkan, ibulah yang mengambil tugas sebagai ayah kepada kami sekeluarga. Ibu bekerja memetik cengkeh di kebun, membuat sapu lidi dan menjual kue-kue agar kami tidak kelaparan. Tapi apalah daya seorang ibu. Kehidupan keluarga kami semakin susah dan susah. Melihat keadaan keluarga yang semakin parah, seorang tetangga yang baik hati dan tinggal bersebelahan dengan kami, datang untuk membantu ibu. Anehnya, ibu menolak bantuan itu… Para tetangga sering kali menasihati ibu supaya menikah lagi agar ada seorang lelaki yang menjaga dan mencarikan nafkah untuk kami sekeluarga… Tetapi ibu yang keras hatinya tidak mengindahkan nasihat mereka. Ibu berkata : “Saya tidak perlu cinta dan saya tidak perlu laki-laki”.
Pembohongan Ibu yang Keenam
Setelah kakak-kakak saya tamat sekolah dan mulai bekerja, ibu pun sudah tua. Kakak-kakak saya menyuruh ibu supaya istirahat saja di rumah. Tidak lagi bersusah payah untuk mencari uang. Tetapi ibu tidak mau. Ibu rela pergi ke pasar setiap pagi menjual sedikit sayur untuk memenuhi keperluan hidupnya. Kakak dan abang yang bekerja jauh di kota besar sering mengirimkan uang untuk membantu memenuhi keperluan ibu, pun begitu ibu tetap berkeras tidak mau menerima uang tersebut. Malah ibu mengirim balik uang itu, dan ibu berkata : “Jangan susah-susah, ibu ada uang”.
Pembohongan Ibu yang Ketujuh
Setelah lulus kuliah, saya melanjutkan lagi untuk mengejar gelar sarjana di luar Negeri. Kebutuhan saya di sana dibiayai sepenuhnya oleh sebuah perusahaan besar. Gelar sarjana itu saya sudahi dengan cemerlang, kemudian saya pun bekerja dengan perusahaan yang telah membiayai sekolah saya di luar negeri. Dengan gaji yang agak lumayan, saya berniat membawa ibu untuk menikmati penghujung hidupnya bersama saya di luar negara. Menurut hemat saya, ibu sudah puas bersusah payah untuk kami. Hampir seluruh hidupnya habis dengan penderitaan, pantaslah kalau hari-hari tuanya ibu habiskan dengan keceriaan dan keindahan pula. Tetapi ibu yang baik hati, menolak ajakan saya. Ibu tidak mau menyusahkan anaknya ini dengan berkata; “Tak usahlah nak, ibu tak bisa tinggal di negara orang”.
Pembohongan Ibu yang Kedelapan
Beberapa tahun berlalu, ibu semakin tua. Suatu malam saya menerima berita ibu diserang penyakit kanker di leher, yang akarnya telah menjalar kemana-mana. Ibu mesti dioperasi secepat mungkin. Saya yang ketika itu berada jauh diseberang samudera segera pulang untuk menjenguk ibunda tercinta. Saya melihat ibu terbaring lemah di rumah sakit, setelah menjalani pembedahan. Ibu yang kelihatan sangat tua, menatap wajah saya dengan penuh kerinduan. Ibu menghadiahkan saya sebuah senyuman biarpun agak kaku karena terpaksa menahan sakit yang menjalari setiap inci tubuhnya. Saya dapat melihat dengan jelas betapa kejamnya penyakit itu telah menggerogoti tubuh ibu, sehingga ibu menjadi terlalu lemah dan kurus. Saya menatap wajah ibu sambil berlinangan air mata. Saya cium tangan ibu kemudian saya kecup pula pipi dan dahinya. Di saat itu hati saya terlalu pedih, sakit sekali melihat ibu dalam keadaan seperti ini. Tetapi ibu tetap tersenyum dan berkata : “Jangan menangis nak, ibu tak sakit”.
Setelah mengucapkan pembohongan yang kedelapan itu, ibunda tercinta menutup matanya ntuk terakhir kali. Dibalik kebohongannya, tersimpan cintanya yang begitu besar bagi anak2nya.
Anda beruntung karena masih mempunyai orangtua… Anda boleh memeluk dan menciumnya. Kalau orangtua anda jauh dari mata, anda boleh menelponnya sekarang, dan berkata, “Ibu/Ayah, saya sayang ibu/ayah”. Tapi tidak saya lakukan, hingga kini saya diburu rasa bersalah yang amat sangat karena biarpun saya mengasihi ibu lebih dari segala-galanya, tapi tidak pernah sekalipun saya membisikkan kata-kata itu ke telinga ibu, sampailah saat ibu menghembuskan nafasnya yang terakhir.
Ibu, maafkan saya. Saya sayang ibu…
Sukar untuk orang lain percaya, tapi itulah yang terjadi, ibu saya memang seorang pembohong!. Sepanjang ingatan saya sekurang-kurangnya 8 kali ibu membohongi saya. Saya perlu catatkan segala pembohongan itu untuk dijadikan renungan anda sekalian. Cerita ini bermula ketika saya masih kecil. Saya lahir sebagai seorang anak lelaki dalam sebuah keluarga sederhana. Makan minum serba kekurangan.
Pembohongan Ibu yang Pertama
Kami sering kelaparan. Adakalanya, selama beberapa hari kami terpaksa makan ikan asin satu keluarga. Sebagai anak yang masih kecil, saya sering merengut. Saya menangis, ingin nasi danlauk yang banyak. Tapi ibu pintar berbohong. Ketika makan, ibu sering membagikan nasinya untuk saya. Sambil memindahkan nasi ke mangkuk saya, ibu berkata : “Makanlah nak ibu tak lapar.”
Pembohongan Ibu yang Kedua
Ketika saya mulai besar, ibu yang gigih sering meluangkan waktu senggangnya untuk pergi memancing di sungai sebelah rumah. Ibu berharap dari ikan hasil pancingan itu dapat memberikan sedikit makanan untuk membesarkan kami. Pulang dari memancing, ibu memasak ikan segar yang mengundang selera. Sewaktu saya memakan ikan itu, ibu duduk disamping kami dan memakan sisa daging ikan yang masih menempel di tulang bekas sisa ikan yang saya makan tadi.
Saya sedih melihat ibu seperti itu. Hati saya tersentuh lalu memberikan ikan yg belum saya makan kepada ibu. Tetapi ibu dengan cepat menolaknya. Ibu berkata : “Makanlah nak, ibu tak suka makan ikan.”
Pembohongan Ibu yang Ketiga
Di awal remaja, saya masuk sekolah menengah. Ibu biasa membuat kue untuk dijual sebagai tambahan uang saku saya dan abang. Suatu saat, pada dinihari lebih kurang pukul 1.30 pagi saya terjaga dari tidur. Saya melihat ibu membuat kue dengan ditemani lilin di hadapannya. Beberapa kali saya melihat kepala ibu terangguk karena ngantuk. Saya berkata : “Ibu, tidurlah, esok pagi ibu kan pergi ke kebun pula.” Ibu tersenyum dan berkata : “Cepatlah tidur nak, ibu belum ngantuk.”
Pembohongan Ibu yang Keempat
Di akhir masa ujian sekolah saya, ibu tidak pergi berjualan kue seperti biasa supaya dapat menemani saya pergi ke sekolah untuk turut menyemangati. Ketika hari sudah siang, terik panas matahari mulai menyinari, ibu terus sabar menunggu saya di luar. Ibu seringkali saja tersenyum dan mulutnya komat-kamit berdoa kepada Illahi agar saya lulus ujian dengan cemerlang. Ketika lonceng berbunyi menandakan ujian sudah selesai, ibu dengan segera menyambut saya dan menuangkan kopi yang sudah disiapkan dalam botol yang dibawanya. Kopi yang kental itu tidak dapat dibandingkan dengan kasih sayang ibu yang jauh lebih kental. Melihat tubuh ibu yang dibasahi peluh, saya segera memberikan cawan saya itu kepada ibu dan menyuruhnya minum. Tapi ibu cepat-cepat menolaknya dan berkata : “Minumlah nak, ibu tak haus!”.
Pembohongan Ibu yang Kelima
Setelah ayah meninggal karena sakit, selepas saya baru beberapa bulan dilahirkan, ibulah yang mengambil tugas sebagai ayah kepada kami sekeluarga. Ibu bekerja memetik cengkeh di kebun, membuat sapu lidi dan menjual kue-kue agar kami tidak kelaparan. Tapi apalah daya seorang ibu. Kehidupan keluarga kami semakin susah dan susah. Melihat keadaan keluarga yang semakin parah, seorang tetangga yang baik hati dan tinggal bersebelahan dengan kami, datang untuk membantu ibu. Anehnya, ibu menolak bantuan itu… Para tetangga sering kali menasihati ibu supaya menikah lagi agar ada seorang lelaki yang menjaga dan mencarikan nafkah untuk kami sekeluarga… Tetapi ibu yang keras hatinya tidak mengindahkan nasihat mereka. Ibu berkata : “Saya tidak perlu cinta dan saya tidak perlu laki-laki”.
Pembohongan Ibu yang Keenam
Setelah kakak-kakak saya tamat sekolah dan mulai bekerja, ibu pun sudah tua. Kakak-kakak saya menyuruh ibu supaya istirahat saja di rumah. Tidak lagi bersusah payah untuk mencari uang. Tetapi ibu tidak mau. Ibu rela pergi ke pasar setiap pagi menjual sedikit sayur untuk memenuhi keperluan hidupnya. Kakak dan abang yang bekerja jauh di kota besar sering mengirimkan uang untuk membantu memenuhi keperluan ibu, pun begitu ibu tetap berkeras tidak mau menerima uang tersebut. Malah ibu mengirim balik uang itu, dan ibu berkata : “Jangan susah-susah, ibu ada uang”.
Pembohongan Ibu yang Ketujuh
Setelah lulus kuliah, saya melanjutkan lagi untuk mengejar gelar sarjana di luar Negeri. Kebutuhan saya di sana dibiayai sepenuhnya oleh sebuah perusahaan besar. Gelar sarjana itu saya sudahi dengan cemerlang, kemudian saya pun bekerja dengan perusahaan yang telah membiayai sekolah saya di luar negeri. Dengan gaji yang agak lumayan, saya berniat membawa ibu untuk menikmati penghujung hidupnya bersama saya di luar negara. Menurut hemat saya, ibu sudah puas bersusah payah untuk kami. Hampir seluruh hidupnya habis dengan penderitaan, pantaslah kalau hari-hari tuanya ibu habiskan dengan keceriaan dan keindahan pula. Tetapi ibu yang baik hati, menolak ajakan saya. Ibu tidak mau menyusahkan anaknya ini dengan berkata; “Tak usahlah nak, ibu tak bisa tinggal di negara orang”.
Pembohongan Ibu yang Kedelapan
Beberapa tahun berlalu, ibu semakin tua. Suatu malam saya menerima berita ibu diserang penyakit kanker di leher, yang akarnya telah menjalar kemana-mana. Ibu mesti dioperasi secepat mungkin. Saya yang ketika itu berada jauh diseberang samudera segera pulang untuk menjenguk ibunda tercinta. Saya melihat ibu terbaring lemah di rumah sakit, setelah menjalani pembedahan. Ibu yang kelihatan sangat tua, menatap wajah saya dengan penuh kerinduan. Ibu menghadiahkan saya sebuah senyuman biarpun agak kaku karena terpaksa menahan sakit yang menjalari setiap inci tubuhnya. Saya dapat melihat dengan jelas betapa kejamnya penyakit itu telah menggerogoti tubuh ibu, sehingga ibu menjadi terlalu lemah dan kurus. Saya menatap wajah ibu sambil berlinangan air mata. Saya cium tangan ibu kemudian saya kecup pula pipi dan dahinya. Di saat itu hati saya terlalu pedih, sakit sekali melihat ibu dalam keadaan seperti ini. Tetapi ibu tetap tersenyum dan berkata : “Jangan menangis nak, ibu tak sakit”.
Setelah mengucapkan pembohongan yang kedelapan itu, ibunda tercinta menutup matanya ntuk terakhir kali. Dibalik kebohongannya, tersimpan cintanya yang begitu besar bagi anak2nya.
Anda beruntung karena masih mempunyai orangtua… Anda boleh memeluk dan menciumnya. Kalau orangtua anda jauh dari mata, anda boleh menelponnya sekarang, dan berkata, “Ibu/Ayah, saya sayang ibu/ayah”. Tapi tidak saya lakukan, hingga kini saya diburu rasa bersalah yang amat sangat karena biarpun saya mengasihi ibu lebih dari segala-galanya, tapi tidak pernah sekalipun saya membisikkan kata-kata itu ke telinga ibu, sampailah saat ibu menghembuskan nafasnya yang terakhir.
Ibu, maafkan saya. Saya sayang ibu…
Ujian Semester
| No | : |
| Nama | : |
| Pasword | : |
| Gender | Laki-laki Wanita |
| Agama | |
| Hobby | Olah Raga Musik Menulis |
| Keterangan | |
Internet
Istilah internet sedemikian populer, sehingga artinya menjadi rancu. Dalam pelatihan digunakan pengertian berikut ini:
Berawal pada tahun 1957, melalui Advanced Research Projects Agency (ARPA), Amerika Serikat bertekad mengembangkan jaringan komunikasi terintegrasi yang saling menghubungkan komunitas sains dan keperluan militer. Hal ini dilatarbelakangi oleh terjadinya perang dingin antara Amerika Serikat dengan Uni Soviet (tahun 1957 Soviet meluncurkan sputnik).
Perkembangan besar Internet pertama adalah penemuan terpenting ARPA yaitu packet switching pada tahun 1960. Packet switching adalah pengiriman pesan yang dapat dipecah dalam paket-paket kecil yang masing-masing paketnya dapat melalui berbagai alternatif jalur jika salahsatu jalur rusak untuk mencapai tujuan yang telah ditentukan. Packet switching juga memungkinkan jaringan dapat digunakan secara bersamaan untuk melakukan banyak koneksi, berbeda dengan jalur telepon yang memerlukan jalur khusus untuk melakukan koneksi. Maka ketika ARPANET menjadi jaringan komputer nasional di Amerika Serikat pada 1969, packet switching digunakan secara menyeluruh sebagai metode komunikasinya menggantikan circuit switching yang digunakan pada sambungan telepon publik.
Perkembangan besar Internet kedua yang dicatat pada sejarah internet adalah pengembangan lapisan protokol jaringan yang terkenal karena paling banyak digunakan sekarang yaitu TCP/IP (Transmission Control Protocol/ Internet Protocol). Protokol adalah suatu kumpulan aturan untuk berhubungan antarjaringan. Protokol ini dikembangkan oleh Robert Kahn dan Vinton Cerf pada tahun 1974. Dengan protokol yang standar dan disepakati secara luas, maka jaringan lokal yang tersebar di berbagai tempat dapat saling terhubung membentuk jaringan raksasa bahkan sekarang ini menjangkau seluruh dunia. Jaringan dengan menggunakan protokol internet inilah yang sering disebut sebagai jaringan internet.
Jaringan ARPANET menjadi semakin besar sejak saat itu dan mulai dikelola oleh pihak swasta pada tahun 1984, maka semakin banyak universitas tergabung dan mulailah perusahaan komersial masuk. Protokol TCP/IP menjadi protokol umum yang disepakati sehingga dapat saling berkomunikasi pada jaringan internet ini.
Perkembangan besar Internet ketiga adalah terbangunnya aplikasi World Wide Web pada tahun 1990 oleh Tim Berners-Lee. Aplikasi World Wide Web (WWW) ini menjadi konten yang dinanti semua pengguna internet. WWW membuat semua pengguna dapat saling berbagi bermacam-macam aplikasi dan konten, serta saling mengaitkan materi-materi yang tersebar di internet. Sejak saat itu pertumbuhan pengguna internet meroket.
Internet merupakan sebuah contoh paling sukses dari usaha investasi yang tak pernah henti dan komitmen untuk melakukan riset berikut pengembangan infrastruktur teknologi informasi. Dimulai dengan penelitian packet switching (paket pensaklaran), pemerintah, industri dan para civitas academica telah bekerjasama berupaya mengubah dan menciptakan teknologi baru yang menarik ini.
Perkembangan Sejarah intenet dapat dibagi dalam empat aspek yaitu
- internet sebagai jaringan yang terhubung dalam internet protocol (IP) secara luas mencapai seluruh dunia.
- internet (inter-network) sebagai sejumlah jaringan fisik yang saling terhubung dengan protocol yang sama (apa saja) untuk membentuk jaringan logic, selanjutnya disebut sebagai inter-network.
- Internet sebagai komunitas jaringan komputer yang memberikan pelayanan http (world wide web). Dibedakan dengan intranet sebagai pelayanan http untuk kalangan terbatas. Pada mulanya pembatasan pada jaring fisik, yaitu LAN, kemudian berkembang termasuk pembatasan secara logis.
- Intranet sebagai jaringan TCP/IP untuk kalangan terbatas. Masyarakat umum mengartikan sebagai jaringan lokal (LAN) dengan pengalamatan private IP.
- Extranet sebagai jaringan TCP/IP untuk kalangan terbatas melalui internet umum. Tunneling, secure layer.
RINGKASAN
- Pengalamatan TCP/IP: network, netmask, host
- Memeriksa keterhubungan: ping, traceroute
Perkembangan Internet…
Teknologi Informasi dan Telekomunikasi (Information and Communication Technology/ICT) merupakan tulang punggung aplikasi Web 2.0. Perkembangan Teknologi Informasi dan Komunikasi yang fenomenal dan menjadi awal munculnya aplikasi web adalah Internet. Internet yang berawal dari riset untuk pertahanan dan keamanan serta pendidikan berkembang menjadi perangkat pendukung bisnis yang sangat berpengaruh. Dalam kaitan dengan aplikasi Web 2.0 ini, terdapat beberapa peristiwa penting dalam sejarah internet.
Berawal pada tahun 1957, melalui Advanced Research Projects Agency (ARPA), Amerika Serikat bertekad mengembangkan jaringan komunikasi terintegrasi yang saling menghubungkan komunitas sains dan keperluan militer. Hal ini dilatarbelakangi oleh terjadinya perang dingin antara Amerika Serikat dengan Uni Soviet (tahun 1957 Soviet meluncurkan sputnik).
Perkembangan besar Internet pertama adalah penemuan terpenting ARPA yaitu packet switching pada tahun 1960. Packet switching adalah pengiriman pesan yang dapat dipecah dalam paket-paket kecil yang masing-masing paketnya dapat melalui berbagai alternatif jalur jika salahsatu jalur rusak untuk mencapai tujuan yang telah ditentukan. Packet switching juga memungkinkan jaringan dapat digunakan secara bersamaan untuk melakukan banyak koneksi, berbeda dengan jalur telepon yang memerlukan jalur khusus untuk melakukan koneksi. Maka ketika ARPANET menjadi jaringan komputer nasional di Amerika Serikat pada 1969, packet switching digunakan secara menyeluruh sebagai metode komunikasinya menggantikan circuit switching yang digunakan pada sambungan telepon publik.
Perkembangan besar Internet kedua yang dicatat pada sejarah internet adalah pengembangan lapisan protokol jaringan yang terkenal karena paling banyak digunakan sekarang yaitu TCP/IP (Transmission Control Protocol/ Internet Protocol). Protokol adalah suatu kumpulan aturan untuk berhubungan antarjaringan. Protokol ini dikembangkan oleh Robert Kahn dan Vinton Cerf pada tahun 1974. Dengan protokol yang standar dan disepakati secara luas, maka jaringan lokal yang tersebar di berbagai tempat dapat saling terhubung membentuk jaringan raksasa bahkan sekarang ini menjangkau seluruh dunia. Jaringan dengan menggunakan protokol internet inilah yang sering disebut sebagai jaringan internet.
Jaringan ARPANET menjadi semakin besar sejak saat itu dan mulai dikelola oleh pihak swasta pada tahun 1984, maka semakin banyak universitas tergabung dan mulailah perusahaan komersial masuk. Protokol TCP/IP menjadi protokol umum yang disepakati sehingga dapat saling berkomunikasi pada jaringan internet ini.
Perkembangan besar Internet ketiga adalah terbangunnya aplikasi World Wide Web pada tahun 1990 oleh Tim Berners-Lee. Aplikasi World Wide Web (WWW) ini menjadi konten yang dinanti semua pengguna internet. WWW membuat semua pengguna dapat saling berbagi bermacam-macam aplikasi dan konten, serta saling mengaitkan materi-materi yang tersebar di internet. Sejak saat itu pertumbuhan pengguna internet meroket.
Perkembangan Internet memberikan pengaruh…
Internet telah membuat revolusi baru dalam dunia komputer dan dunia komunikasi yang tidak pernah diduga sebelumnya. Beberapa Penemuan telegram, telepon, radio, dan komputer merupakan rangkaian kerja ilmiah yang menuntun menuju terciptanya Internet yang lebih terintegrasi dan lebih berkemampuan dari pada alat-alat tersebut. Internet memiliki kemampuan penyiaran ke seluruh dunia, memiliki mekanisme diseminasi informasi, dan sebagai media untuk berkolaborasi dan berinteraksi antara individu dengan komputernya tanpa dibatasi oleh kondisi geografis.Internet merupakan sebuah contoh paling sukses dari usaha investasi yang tak pernah henti dan komitmen untuk melakukan riset berikut pengembangan infrastruktur teknologi informasi. Dimulai dengan penelitian packet switching (paket pensaklaran), pemerintah, industri dan para civitas academica telah bekerjasama berupaya mengubah dan menciptakan teknologi baru yang menarik ini.
Perkembangan Sejarah intenet dapat dibagi dalam empat aspek yaitu
- Adanya aspek evolusi teknologi yang dimulai dari riset packet switching (paket pensaklaran) ARPANET (berikut teknologi perlengkapannya) yang pada saat itu dilakukan riset lanjutan untuk mengembangkan wawasan terhadap infrastruktur komunikasi data yang meliputi beberapa dimensi seperti skala,performannce/kehandalan, dan kefungsian tingkat tinggi.
- Adanya aspek pelaksanaan dan pengelolaan sebuah infrastruktur yang global dan kompleks.
- Adanya aspek sosial yang dihasilkan dalam sebuah komunitas masyarakat besar yang terdiri dari para Internauts yang bekerjasama membuat dan mengembangkan terus teknologi ini.
- Adanya aspek komersial yang dihasilkan dalam sebuah perubahan ekstrim namun efektif dari sebuah penelitian yang mengakibatkan terbentuknya sebuah infrastruktur informasi yang besar dan berguna. Internet sekarang sudah merupakan sebuah infrastruktur informasi global (widespread information infrastructure), yang awalnya disebut “the National (atau Global atau Galactic) Information Infrastructure” di Amerika Serikat. Sejarahnya sangat kompleks dan mencakup banyak aspek seperti teknologi, organisasi, dan komunitas. Dan pengaruhnya tidak hanya terhadap bidang teknik komunikasi komputer saja tetapi juga berpengaruh kepada masalah sosial seperti yang sekarang kita lakukan yaitu kita banyak mempergunakan alat-alat bantu on line untuk mencapai sebuah bisnis elektronik (electronic commerce), pemilikan informasi dan berinteraksi dengan masyarakat.
GreenBoot
| Greenboot | |
JDK + JavaFX Bundle | |
Java Platform JDK | |
digi-ware | |
ok-electronics | |
NetBeans | |
Mengenal Saya Pipin  | |
Ujian Mid Internet dan Desain Web
UTS Ganjil 2009/2010 | Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan Program studi pendidikan matematika |
Hyperlink: | Penggunaan Superscript, Subscript dan List
|
Ujian Tengah Semester Soal Versi 1 | |
Mengenal Dot dan Cross Product
Dalam pembelajaran tentang vektor, kita tidak bisa terlepas dari dot dan cross product.. Apa itu dot dan cross vektor? Lebih jauh lagi, darimana rumus dot dan cross itu berasal? Bagaimanakah contoh soalnya?
Silakan baca lanjutannya.. ^^
=========================================================================
Vektor adalah garis yang memiliki panjang dan arah. Simbol untuk vektor, bisa berupa overline variable (misalnya:
atau 
) bisa juga dalam simbol dot to dot variabel (misalnya: 
atau 
, yang artinya titik dimulai dari pangkal A ke titik B).
=========================================================================
Dot (
) Product adalah bentuk perkalian antara 2 vektor yang akan menghasilkan skalar, yang didefinisikan dalam rumus:
= 
. 
. 
adalah sudut yang dibentuk oleh kedua vektor dan .
=========================================================================
yang membuat perkalian vektor bersudut 900akan bernilai nol, sehingga mempermudah perhitungan. Lalu, bagaimana dengan cross product?
Cross (
) Product adalah bentuk perkalian antara 2 vektor yang akan menghasilkan vektor yang tegak lurus dengan kedua vektor itu di dalam dimensi 3, yang didefinisikan dalam rumus:
= . . 
. 
di sini adalah vektor satuan yang tegak lurus dengan vektor dan tegak lurus dengan vektor .
=========================================================================
1.
=====> Untuk Membutikannya, cukup jabarkan ruas kiri. Lalu ubah
menjadi
=====>
.
2.
=========================================================================
Bagian I
Sekilas Tentang Vektor
Sekilas Tentang Vektor
Vektor adalah garis yang memiliki panjang dan arah. Simbol untuk vektor, bisa berupa overline variable (misalnya:
atau ) bisa juga dalam simbol dot to dot variabel (misalnya: atau , yang artinya titik dimulai dari pangkal A ke titik B).Vektor dapat ditulis dalam bentuk matriks kolom.
Misalnya:
=>
Vektor dalam bentuk matriks kolom dapat dibuat lebih *hemat tempat* dengan pemberian unsur transpos matriks. Jadi, matriks juga dapat ditulis dalam bentuk 
. Simbol T berarti *tranpos*.
Selain itu matriks dapat ditulis dalam bentuk penambahan vektor-vektor satuan.
Sebagai contoh: = 3
+ 5
. (Bentuk ini adalah bentuk yang paling efektif, karena menunjukkan elemen vektor satuan.. Tapi, kurang enak dibaca.. ~~a)
Di sini adalah vektor 
, sedangkan adalah vektor 
.
Misalnya:
=>Vektor dalam bentuk matriks kolom dapat dibuat lebih *hemat tempat* dengan pemberian unsur transpos matriks. Jadi, matriks
juga dapat ditulis dalam bentuk . Simbol T berarti *tranpos*.Selain itu matriks dapat ditulis dalam bentuk penambahan vektor-vektor satuan.
Sebagai contoh:
= 3 + 5. (Bentuk ini adalah bentuk yang paling efektif, karena menunjukkan elemen vektor satuan.. Tapi, kurang enak dibaca.. ~~a)Di sini
adalah vektor , sedangkan adalah vektor .Operasi vektor bisa berupa:
1. Penjumlahan (dan pengurangan): tinggal menjumlahkan elemen-elemen vektor yang sesuai
2. Perkalian dengan skalar (menghasilkan vektor yang sejajar dengan vektor awal)
3. Perkalian dengan vektor (akan dibahas lebih lanjut).
Contoh Soal 1: Jika = dan = 
, maka berapakah + ?
Jawab: + = + = 
= 
Contoh Soal 2: Jika = 2 + 5 -8
, maka berapakah 2?
Jawab: 2 = 2(2 + 5 -8) = + 5 -16. (bentuk ini adalah bentuk lain dari vektor. Lihat penjelasan awal).
Contoh Soal 3: Jika = 6 -5 -, dan = 3 + , dan 
= -2 +5, dan 
= 2 - + 2, maka berapakah ?
Jawab: = 2(6 -5 -) - (3 + ) + 2(-2 +5) = 12-10-2-3--4+10
_________= 5 - 3
Atau dapat juga ditulis = 
.
1. Penjumlahan (dan pengurangan): tinggal menjumlahkan elemen-elemen vektor yang sesuai
2. Perkalian dengan skalar (menghasilkan vektor yang sejajar dengan vektor awal)
3. Perkalian dengan vektor (akan dibahas lebih lanjut).
Contoh Soal 1: Jika
= dan = , maka berapakah + ?Jawab:
+ = + = = Contoh Soal 2: Jika
= 2 + 5 -8, maka berapakah 2?Jawab: 2
= 2(2 + 5 -8) = + 5 -16. (bentuk ini adalah bentuk lain dari vektor. Lihat penjelasan awal).Contoh Soal 3: Jika
= 6 -5 -, dan = 3 + , dan = -2 +5, dan = 2 - + 2, maka berapakah ?Jawab:
= 2(6 -5 -) - (3 + ) + 2(-2 +5) = 12-10-2-3--4+10_________= 5
- 3Atau dapat juga ditulis
= .Panjang vektor dapat ditentukan dengan konsep phytagoras. (perhatikan simbol untuk panjang vektor)..
Contoh soal 4: jika = , berapakah panjang .
Jawab: Panjang vektor = = 
= 
.
Contoh soal 5: Jika = +3+5+7
+9
+ 11
. Tentukan panjang vektor !
Jawab: = 
= 
Contoh soal 4: jika
= , berapakah panjang .Jawab: Panjang vektor
= = = .Contoh soal 5: Jika
= +3+5+7+9 + 11. Tentukan panjang vektor !Jawab:
= = Vektor satuan adalah vektor yang panjangnya 1 satuan. Lambang vektor satuan bermacam-macam. Di sini akan digunakan simbol .
Contoh Soal 6: = 
. Apakah vektor adalah vektor satuan?
Jawab: = 
= 1. Maka adalah vektor satuan (karena panjangnya 1)
Contoh soal 7: Terdapat vektor dimana = 2 + 6j +5k.Tentukan vektor satuan yang searah dan sejajar dengan vektor .
Jawab:
Tentukan panjang vektor = = 
= 
Syarat sejajar dan searah, vektor itu harus dikalikan konstanta yang positif.
= c. ... (i)
Syarat ini juga dipenuhi untuk *panjang* vektor. Jadi:
= c.
Panjang vektor satuan adalah 1. Jadi:
1 = c.
Maka, c =
= 
.
Subtitusikan nilai c ini di persamaan awal, maka didapat:
= = 
= 
.
Contoh soal 8: Berapakah vektor satuan dari vektor (yang ada di contoh soal nomor 3)?
Jawab:
Soal ini identik dengan soal nomor 7 (hanya beda kata-kata).
Di soal ini, kita mencoba memakai rumus vektor satuan, yang logikanya sudah ada di contoh soal nomor 7.
= 
Jadi, 
= 
= 
= 
.
.Contoh Soal 6:
= . Apakah vektor adalah vektor satuan?Jawab:
= = 1. Maka adalah vektor satuan (karena panjangnya 1)Contoh soal 7: Terdapat vektor
dimana = 2 + 6j +5k.Tentukan vektor satuan yang searah dan sejajar dengan vektor .Jawab:
Tentukan panjang vektor
= = = Syarat sejajar dan searah, vektor itu harus dikalikan konstanta yang positif.
= c. ... (i)Syarat ini juga dipenuhi untuk *panjang* vektor. Jadi:
= c. Panjang vektor satuan adalah 1. Jadi:
1 = c.
Maka, c =
= .Subtitusikan nilai c ini di persamaan awal, maka didapat:
= = = .Contoh soal 8: Berapakah vektor satuan dari vektor
(yang ada di contoh soal nomor 3)?Jawab:
Soal ini identik dengan soal nomor 7 (hanya beda kata-kata).
Di soal ini, kita mencoba memakai rumus vektor satuan, yang logikanya sudah ada di contoh soal nomor 7.
= = = = .Vektor Posisi adalah vektor yang berpangkal dari koordinat O, bisa (0,0) atau (0,0,0), dan seterusnya.
Misalnya:
= =>
Contoh soal 9: Jika = , sedangkan 
= . Tentukan vektor 
!
Jawab:
Dengan digambar, maka kita tahu bahwa + = , maka:
= 
= = 
Misalnya:
= =>Contoh soal 9: Jika
= , sedangkan = . Tentukan vektor !Jawab:
Dengan digambar, maka kita tahu bahwa
+ = , maka: = = = Ruang Dimensi Vektor menunjukkan di dimensi mana vektor itu berada. Misalnya, vektor itu terletak di dalam ruang, maka dia akan berada di dimensi 3 atau di 
. Jika vektor itu terletak di bidang, maka vektor itu berada di dimensi 
. Lalu, apakah dimensi 4 itu ada? Bagaimana cara menggambar vektor di dimensi 4 atau lebih? Hmm..
Sebetulnya, vektor dimensi 4 atau lebih itu ada, tapi vektor ini bersifat *khayal*, dan tidak bisa digambar.
Apakah Dot dan Cross Product berlaku untuk dimensi 4, 5, dan seterusnya...??
Tidak!! Cross Product hanya berlaku di. Namun, dot bisa berlaku di semua dimensi. Namun, pembuktian untuk dot product di dimensi 4 (atau lebih) masih belum ada (dan tidak akan ada). Jadi, kita sebaiknya lihat pembahasan Dot dan Cross Product di dan saja yach.. ^^
. Jika vektor itu terletak di bidang, maka vektor itu berada di dimensi . Lalu, apakah dimensi 4 itu ada? Bagaimana cara menggambar vektor di dimensi 4 atau lebih? Hmm..Sebetulnya, vektor dimensi 4 atau lebih itu ada, tapi vektor ini bersifat *khayal*, dan tidak bisa digambar.
Apakah Dot dan Cross Product berlaku untuk dimensi 4, 5, dan seterusnya...??
Tidak!! Cross Product hanya berlaku di
. Namun, dot bisa berlaku di semua dimensi. Namun, pembuktian untuk dot product di dimensi 4 (atau lebih) masih belum ada (dan tidak akan ada). Jadi, kita sebaiknya lihat pembahasan Dot dan Cross Product di dan saja yach.. ^^=========================================================================
Bagian II
Dot Product
Dot Product
Dot (
) Product adalah bentuk perkalian antara 2 vektor yang akan menghasilkan skalar, yang didefinisikan dalam rumus: = . . adalah sudut yang dibentuk oleh kedua vektor dan .Mengapa hasilnya skalar?
Masing-masing unsur dari, , dan adalah skalar. Jadi, juga skalar. (Lihat juga pembahasan tentang cross product. Mungkin akan memperjelas. ^^)
Mengapa Dot Product didefinisikan seperti itu?
Justru itulah masalahnya. Si pembuat definisi itu memang sangat kreatif. Mulanya, untuk mengalikan vektor dan , maka akan ada tiga unsur yang berperan, yaitu panjang , panjang , dan sudut yang dibentuk keduanya (). Definisi untuk dot diambil unsur yang cos. ^^
Apa arti dari hasil perkalian itu?
Kalo ngak *diolah* lebih lanjut, hasil dari. . sesungguhnya tidak memiliki arti. . . hanya kumpulan angka-angka saja dan angka itu tidak menunjukkan besaran apapun (bagi saya). Oleh, karena itu dot product harus diolah lagi agar dapat diaplikasikan. ^^
Masing-masing unsur dari
, , dan adalah skalar. Jadi, juga skalar. (Lihat juga pembahasan tentang cross product. Mungkin akan memperjelas. ^^)Mengapa Dot Product didefinisikan seperti itu?
Justru itulah masalahnya. Si pembuat definisi itu memang sangat kreatif. Mulanya, untuk mengalikan vektor
dan , maka akan ada tiga unsur yang berperan, yaitu panjang , panjang , dan sudut yang dibentuk keduanya (). Definisi untuk dot diambil unsur yang cos. ^^Apa arti dari hasil perkalian itu?
Kalo ngak *diolah* lebih lanjut, hasil dari
. . sesungguhnya tidak memiliki arti. . . hanya kumpulan angka-angka saja dan angka itu tidak menunjukkan besaran apapun (bagi saya). Oleh, karena itu dot product harus diolah lagi agar dapat diaplikasikan. ^^Contoh soal 10:
Diketahui di dimensi 3 (), terdapat vektor dan .
= 
.
Didapat bahwa, ternyata: ( ) 
= .
Tentukan besar sudut yang dibentuk antara dan !
Jawab:
Contoh Soal 11:
Jika = 4, berapakah ?
= . (kita tahu bahwa vektor dan itu sudutnya 00)
= 
= 16
Diketahui di dimensi 3 (
), terdapat vektor dan . = .Didapat bahwa, ternyata: (
) = .Tentukan besar sudut yang dibentuk antara
dan !Jawab:
( ) = . . .  = . = 1 |  = 1 =  Jadi, =  |
Contoh Soal 11:
Jika
= 4, berapakah ?Jawab:
= . (kita tahu bahwa vektor dan itu sudutnya 00) = = 16Karakteristik Dot Product
Di sini kita akan bermain-main dengan vektor satuan. Kita akan melihat vektor di dimensi ruang (), jadi akan ada 3 vektor basis di sini yaitu , , dan .
= 
, =
, dan =
Sesuai dengan definisi Dot Product, maka didapat karakteristik sebagai berikut.
=||.||. = 1 (ingat bahwa sudut yang dibentuk adalah 00)
=||.||. = 1
=||.||. = 1
Selain itu, nilainya adalah nol. Lihat di bawah.
=||.||. = 0 (karena sudut yang dibentuk adalah 900)
=||.||. = 0
=||.||. = 0
=||.||. = 0
=||.||. = 0
=||.||. = 0
Sifat yang dimiliki dot product ini adalah komutatif (dibolak-balik hasilnya sama.. ^^)
Dengan melihat karakteristik itu, maka kita dapat mengalikan tanpa perlu tahu sudutnya. Lihat penguraian di bawah.
= 
+
+
= 
+
+
Di sini kita akan bermain-main dengan vektor satuan. Kita akan melihat vektor di dimensi ruang (
), jadi akan ada 3 vektor basis di sini yaitu , , dan . = , =, dan =Sesuai dengan definisi Dot Product, maka didapat karakteristik sebagai berikut.
=||.||. = 1 (ingat bahwa sudut yang dibentuk adalah 00) =||.||. = 1 =||.||. = 1Selain itu, nilainya adalah nol. Lihat di bawah.
=||.||. = 0 (karena sudut yang dibentuk adalah 900) =||.||. = 0 =||.||. = 0 =||.||. = 0 =||.||. = 0 =||.||. = 0Sifat yang dimiliki dot product ini adalah komutatif (dibolak-balik hasilnya sama.. ^^)
Dengan melihat karakteristik itu, maka kita dapat mengalikan
tanpa perlu tahu sudutnya. Lihat penguraian di bawah. = ++ = ++| | = (++)(++) = +++==== +++==== ++= ()+ ()+()+++++ ()+()+()+==== ()+()+()= ++ |
Contoh Soal 12:
Jika = 
dan = 
, berapa sudut yang dibentuk oleh kedua vektor itu?
Jawab:
=
(-1)(4)+(2)()+(3)(-1) = 
. 
.
-6 =
. 
.
-6 = 15,5403 (menggunakan kalkulator)
= - 0,386
= 112,710 (menggunakan kalkulator)
Ternyata dot vektor dapat digunakan untuk menghitung sudut dengan rumus:
= 
Jika
= dan = , berapa sudut yang dibentuk oleh kedua vektor itu?Jawab:
= (-1)(4)+(2)(
)+(3)(-1) = . . -6 =
. . -6 = 15,5403
(menggunakan kalkulator) = - 0,386 = 112,710 (menggunakan kalkulator)Ternyata dot vektor dapat digunakan untuk menghitung sudut dengan rumus:
= Proyeksi Vektor
Di contoh soal di atas, dot product dapat digunakan untuk mencari sudut apit. Namun, sesungguhnya dot vektor dapat digunakan untuk kemampuan yang lebih, yaitu mencari vektor proyeksi. Lihat penjelasan di bawah.
Misalkan diberikan vektor dan . adalah proyeksi vektor ke , maka dapat digambarkan sebagai berikut. (Sebenarnya, pangkal vektor dan tidak harus berhimpit, namun, dianggap demikian supaya lebih mudah dipahami).
Pertama, tama kita akan mencoba mencari panjang vektor .
Sesuai dengan aturan trigonometri: = 
... (i)
Sesuai dengan operasi dot vektor: = ... (ii)
Gabungkan kedua persamaan di atas, maka akan kita dapatkan rumus untuk
=
= 
Karena dan berhimpit, maka dapat kita simpulkan bahwa vektor satuan dari sama dengan vektor satuan dari .
= 
Ingat rumus untuk vektor satuan sebelumnya, maka persamaan di atas menjadi:
= 
=
Substitusikan nilai , maka didapat:
= 
(vektor proyeksi dari ke )
Untuk mencari vektor proyeksi dari ke , maka kita tinggal ganti simbol:
= 
(vektor proyeksi dari ke )
Di contoh soal di atas, dot product dapat digunakan untuk mencari sudut apit. Namun, sesungguhnya dot vektor dapat digunakan untuk kemampuan yang lebih, yaitu mencari vektor proyeksi. Lihat penjelasan di bawah.
Misalkan diberikan vektor
dan . adalah proyeksi vektor ke , maka dapat digambarkan sebagai berikut. (Sebenarnya, pangkal vektor dan tidak harus berhimpit, namun, dianggap demikian supaya lebih mudah dipahami).
.Sesuai dengan aturan trigonometri:
= ... (i)Sesuai dengan operasi dot vektor:
= ... (ii)Gabungkan kedua persamaan di atas, maka akan kita dapatkan rumus untuk
= = dan berhimpit, maka dapat kita simpulkan bahwa vektor satuan dari sama dengan vektor satuan dari . = = = , maka didapat: = (vektor proyeksi dari ke ) ke , maka kita tinggal ganti simbol: = (vektor proyeksi dari ke )Contoh Soal 13:
Di dimensi 2 (), terdapat 2 buah vektor, yaitu dan .
= 
= 
Tentukan
(proyeksi pada ) dan 
(proyeksi pada 
)!
Jawab:
Kasus di atas dapat digambarkan sebagai berikut ( dan dianggap sebagai vektor posisi)
Vektor proyeksi dari ke = = = 
= 
.
Vektor proyeksi dari ke = = = 
= 
.
Contoh Soal 14:
Diketahui vektor dan bukan 
(vektor yang panjangnya 0) memenuhi kondisi berikut.
= 2 = 
.
Sudut yang dibentuk dan adalah . Tentukan !
Jawab:
Ini adalah soal vektor yang tricky. Mungkin pada awalnya kita kesulitan karena bingung memulai dari mana. Tapi, kita bisa memulai dari apa yang ditanyakan. selalu berhubungan dengan , maka inilah hal yang pertama kali kita lakukan.
=
Substitusi nilai = 2 :
= 2 .
= 2 
... (i)
Lalu, kita tinggal menentukan untuk mengolah. Supaya lebih mudah, maka sebaiknya kita kalikan vektor 
dengan dirinya sendiri.
= + 6 ( ) + 9 ( )
= + 6 ( ) + 9
Karena = (diketahui di soal), maka persamaan tersebut menjadi:
= 
+ 6 ( ) + 9
6 ( ) = 9
= 
... (ii)
Substitusikan persamaan (ii) ke (i), maka:
= 2
= 
Di dimensi 2 (
), terdapat 2 buah vektor, yaitu dan . = = Tentukan
(proyeksi pada ) dan (proyeksi pada )!Jawab:
Kasus di atas dapat digambarkan sebagai berikut (
dan dianggap sebagai vektor posisi)
ke = = = = .Vektor proyeksi dari
ke = = = = .Contoh Soal 14:
Diketahui vektor
dan bukan (vektor yang panjangnya 0) memenuhi kondisi berikut. = 2 = . dan adalah . Tentukan !Jawab:
Ini adalah soal vektor yang tricky. Mungkin pada awalnya kita kesulitan karena bingung memulai dari mana. Tapi, kita bisa memulai dari apa yang ditanyakan.
selalu berhubungan dengan , maka inilah hal yang pertama kali kita lakukan. = Substitusi nilai
= 2 : = 2 . = 2 ... (i)Lalu, kita tinggal menentukan untuk mengolah
. Supaya lebih mudah, maka sebaiknya kita kalikan vektor dengan dirinya sendiri. = + 6 ( ) + 9 ( ) = + 6 ( ) + 9Karena
= (diketahui di soal), maka persamaan tersebut menjadi: = + 6 ( ) + 96 (
) = 9 = ... (ii) = 2 = =========================================================================
Bagian III
Cross Product
Kita tahu bahwa dot vektor sangat berperan dalam perhitungan sudut dan vektor proyeksi. Keistimewaan dot terletak pada Cross Product
yang membuat perkalian vektor bersudut 900akan bernilai nol, sehingga mempermudah perhitungan. Lalu, bagaimana dengan cross product?Cross (
) Product adalah bentuk perkalian antara 2 vektor yang akan menghasilkan vektor yang tegak lurus dengan kedua vektor itu di dalam dimensi 3, yang didefinisikan dalam rumus: = . . . adalah vektor satuan yang tegak lurus dengan vektor dan tegak lurus dengan vektor .Apa hasil dari cross product itu?
Hasil dari cross product adalah vektor yang tegak lurus dengan vektor dan vektor . Kenapa bisa begitu? Ini karena pengaruh perkalian vektor-vektor satuan dan . Untuk lebih jelasnya, bisa dilihat di bagian karakteristik cross product.
Sementara, jika kita ingin meng*skalar*kan cross product, maka unsur dapat kita hilangkan, maka rumusnya menjadi:
= . .
Di sini, kita tahu bahwa . . adalah rumus Luas jajargenjang. Wah, ternyata kita bisa mencari luas jajargenjang dari sudut pandang vektor! ^^
Mengapa cross product dapat menghasilkan vektor sedangkan Dot Product tidak?
Sebetulnya dot product bisa menghasilkan vektor jika dikalikan lagi dengan vektor satuan. Namun, dot product sengaja tidak menghasilkan vektor karena di sinilah aplikasi dot vektor yang banyak digunakan (mencari sudut dan vektor proyeksi). Lalu, jika ingin memberi arah, kita tinggal mengalikannya dengan vektor satuan yang arahnya terserah kita (di sini dot vektor bersifat dinamis).
Sementara itu, cross vektor juga sebenarnya bisa jika didefinisikan sebagai ini saja:. . karena bisa diaplikasikan dalam mencari luas jajargenjang. Namun, fungsi ini masih terlalu sederhana (bagaimana kita mendefinisikan dengan , tentunya nilai keduanya harus berbeda dan tidak mungkin kita mendefinisikan keduanya adalah 1 meskipun keduanya tegak lurus). Unsur pada cross vektor sungguh *mempesona*. Pada saat sudut yang dibentuk adalah 900 (yang berarti hasil sin-nya adalah 1), maka kita dapat memodifikasinya dengan pemberian arah vektor yang saling ortoghonal (tegak lurus) kedua vektor, berbeda jika kita menggunakan cos pada dot product. Ini juga bisa memberikan solusi bagi nilai dengan (sebagai contoh) supaya tidak sama.
Mengapa Cross Product hanya berlaku di dimensi 3 saja?
Untuk membuat vektor yang tegak lurus diperlukan vektor basis yang saling tegak lurus juga. Lalu, di dimensi 4, bisakah kita menemukan 4 vektor yang saling tegak lurus?
Sebenarnya di dimensi 2, cross product bisa saja kita gunakan karena dimensi 2 adalah bagian dari dimensi 3. Namun, mungkin hasil yang dipakai hanyalah sebatas, karena tidak dapat digunakan di dimensi 2.
Hasil dari cross product adalah vektor yang tegak lurus dengan vektor
dan vektor . Kenapa bisa begitu? Ini karena pengaruh perkalian vektor-vektor satuan dan . Untuk lebih jelasnya, bisa dilihat di bagian karakteristik cross product.Sementara, jika kita ingin meng*skalar*kan cross product, maka unsur
dapat kita hilangkan, maka rumusnya menjadi: = . . . . adalah rumus Luas jajargenjang. Wah, ternyata kita bisa mencari luas jajargenjang dari sudut pandang vektor! ^^
Sebetulnya dot product bisa menghasilkan vektor jika dikalikan lagi dengan vektor satuan. Namun, dot product sengaja tidak menghasilkan vektor karena di sinilah aplikasi dot vektor yang banyak digunakan (mencari sudut dan vektor proyeksi). Lalu, jika ingin memberi arah, kita tinggal mengalikannya dengan vektor satuan yang arahnya terserah kita (di sini dot vektor bersifat dinamis).
Sementara itu, cross vektor juga sebenarnya bisa jika didefinisikan sebagai ini saja:
. . karena bisa diaplikasikan dalam mencari luas jajargenjang. Namun, fungsi ini masih terlalu sederhana (bagaimana kita mendefinisikan dengan , tentunya nilai keduanya harus berbeda dan tidak mungkin kita mendefinisikan keduanya adalah 1 meskipun keduanya tegak lurus). Unsur pada cross vektor sungguh *mempesona*. Pada saat sudut yang dibentuk adalah 900 (yang berarti hasil sin-nya adalah 1), maka kita dapat memodifikasinya dengan pemberian arah vektor yang saling ortoghonal (tegak lurus) kedua vektor, berbeda jika kita menggunakan cos pada dot product. Ini juga bisa memberikan solusi bagi nilai dengan (sebagai contoh) supaya tidak sama.Mengapa Cross Product hanya berlaku di dimensi 3 saja?
Untuk membuat vektor yang tegak lurus diperlukan vektor basis yang saling tegak lurus juga. Lalu, di dimensi 4, bisakah kita menemukan 4 vektor yang saling tegak lurus?
Sebenarnya di dimensi 2, cross product bisa saja kita gunakan karena dimensi 2 adalah bagian dari dimensi 3. Namun, mungkin hasil yang dipakai hanyalah sebatas
, karena tidak dapat digunakan di dimensi 2.Karakteristik Cross Product
Di dimensi 3 terdapat 3 vektor basis sebagai berikut.
= , =, dan =
Vektor yang tegak lurus ada 2 arah (berlawanan). Supaya konsisten, maka kita tentukan arahnya dengan aturan tangan kanan. Ini dilakukan supaya hasilnya **konsisten** dan **universal**. Jadi, ini semacam aturan umum saja. (Sebenarnya jika kita memakai aturan tangan kiri, kita akan mendapatkan hasil yang tegak lurus juga, namun hasilnya negatif. Sebenarnya, ini boleh saja dilakukan).
Sesuai dengan definisi di atas, maka didapat karakteristik sebagai berikut.
= (karena sudutnya 00)
=
=
Terlihat bahwa perkalian cross product tidak bersifat komutatif..
Sekarang kita coba mengoperasikan
= ++
= ++
Maka, akan didapat vektor yang tegak lurus dan .
Di dimensi 3 terdapat 3 vektor basis sebagai berikut.
= , =, dan =Vektor yang tegak lurus ada 2 arah (berlawanan). Supaya konsisten, maka kita tentukan arahnya dengan aturan tangan kanan. Ini dilakukan supaya hasilnya **konsisten** dan **universal**. Jadi, ini semacam aturan umum saja. (Sebenarnya jika kita memakai aturan tangan kiri, kita akan mendapatkan hasil yang tegak lurus juga, namun hasilnya negatif. Sebenarnya, ini boleh saja dilakukan).
= (karena sudutnya 00)==| == | ----- | == | ---- | == |
Sekarang kita coba mengoperasikan
= ++ = ++ | = (++)(++) = ()+()+()+===== ()+()+() +===== ()+()+()= .+.+()+===== ()+.+.+===== .+()+= ( )( )+( )(Supaya dapat lebih mudah dibaca *dan dihapal*, kita gunakan konsep determinan) =  (gunakan cara Sarrus untuk mencari determinan ordo 3x3) |
dan .Contoh Soal 15:
Di, terdapat vektor dan .
= dan = . Tentukan dan .
Jawab:
= 
= 
= 
(Determinan 3x3 di atas dapat diselesaikan dengan cara Sarrus biasa..)
= 
= 
= 
dapat kita lihat bahwa:= -().
Contoh Soal 16:
Dari contoh soal 15, berikan 5 contoh vektor yang tegak lurus dengan vektor dan vektor !
Jawab:
Kita sudah menemukan 2 vektor yang tegak lurus, yaitu:, dan .
Berikutnya, kita tinggal menemukan vektor-vektor yang sejajar dengan vektor itu. Jadi, kita hanya mengalikan konstanta sesuka apapun yang kita mau.
Misalnya:
Kalikan dengan , maka hasilnya: 
==> ini contoh yg ke-3
Kalikan dengan 3, maka hasilnya: 
==> ini contoh ke-4
Kalikan dengan 2, maka hasilnya 
==> ini contoh ke-5
Tentunya, akan ada banyak jawab. Intinya, kita cukup mengalikan dengan konstanta apapun... ^^
Contoh Soal 17:
Tentukan persamaan bidang yang melalui titik (0,1,2) dan terdapat vektor dan di bidang itu!
Jawab:
Pertama, tentukan dulu(kita sudah mendapatkannya di soal nomor 15)
Nah, itulah yang disebut dengan vektor normal. Vektor normal adalah karakteristik yang dimiliki oleh bidang. (kalau karakteristik gradien dimiliki oleh garis). Nah, kita tinggal mengikuti rumus persamaan bidang berikut:
.
Substitusikan nilai 3 di n1, 6 di n2, dan -5 di n3. Maka, persamaan bidangnya menjadi:
Bidang itu melalui titik (0,1,2). Oleh karena itu, substitusikan nilai 0 di x1, 1 di x2 dan 2 di x3. Maka persamaannya menjadi:
Contoh soal 18: Tentukan persamaan bidang yang melalui titik A(0,1,-3), B (2,4,-1), dan C(-2,3,5)!
Jawab:
Tentukan 2 vektor yang terletak pada bidang. Di sini, kita mencari vektor dan 
. (Boleh mencari yang lain).
= 
= 
= 
= 
Sekarang kita cari vektor yang tegak lurus dengan kedua vektor ini. Caranya? Ya, menggunakan cross product!!
= 
= 
= 
Sekarang tinggal memasukkan nilai-nilai itu ke persamaan bidang:
Masukkan n1=20 , n2=-20, n3 = 10
Nah, sekarang masukkan titik yang terletak pada bidang. Terserah kalian ingin memasukkan titik A, atau B, ataupun C, karena semua titik akan menghasilkan hasil yang sama.
Di sini, kita masukkan titik A (0,1,-3). Berarti x1=0.x2=1. x3=-3.
Di
, terdapat vektor dan . = dan = . Tentukan dan .Jawab:
= = = (Determinan 3x3 di atas dapat diselesaikan dengan cara Sarrus biasa..)
= = = dapat kita lihat bahwa:
= -().Contoh Soal 16:
Dari contoh soal 15, berikan 5 contoh vektor yang tegak lurus dengan vektor
dan vektor !Jawab:
Kita sudah menemukan 2 vektor yang tegak lurus, yaitu:
, dan .Berikutnya, kita tinggal menemukan vektor-vektor yang sejajar dengan vektor itu. Jadi, kita hanya mengalikan konstanta sesuka apapun yang kita mau.
Misalnya:
Kalikan
dengan , maka hasilnya: ==> ini contoh yg ke-3Kalikan
dengan 3, maka hasilnya: ==> ini contoh ke-4Kalikan
dengan 2, maka hasilnya ==> ini contoh ke-5Tentunya, akan ada banyak jawab. Intinya, kita cukup mengalikan
dengan konstanta apapun... ^^Contoh Soal 17:
Tentukan persamaan bidang yang melalui titik (0,1,2) dan terdapat vektor
dan di bidang itu!Jawab:
Pertama, tentukan dulu
(kita sudah mendapatkannya di soal nomor 15)Nah, itulah yang disebut dengan vektor normal. Vektor normal adalah karakteristik yang dimiliki oleh bidang. (kalau karakteristik gradien dimiliki oleh garis). Nah, kita tinggal mengikuti rumus persamaan bidang berikut:
pers. bidang:
Kita sudah mendapat salah 1 contoh vektor normal di contoh nomor 16, yaitu .Substitusikan nilai 3 di n1, 6 di n2, dan -5 di n3. Maka, persamaan bidangnya menjadi:
pers. bidang: 
Contoh soal 18: Tentukan persamaan bidang yang melalui titik A(0,1,-3), B (2,4,-1), dan C(-2,3,5)!
Jawab:
dan . (Boleh mencari yang lain). = = = = Sekarang kita cari vektor yang tegak lurus dengan kedua vektor ini. Caranya? Ya, menggunakan cross product!!
= = = Sekarang tinggal memasukkan nilai-nilai itu ke persamaan bidang:
Bagi persamaan dengan 10, supaya lebih sederhana.
Di sini, kita masukkan titik A (0,1,-3). Berarti x1=0.x2=1. x3=-3.
pers bidang: 
(Contoh Soal lainnya akan menyusul)=========================================================================
Bagian IV
Sifat-Sifat Khusus Cross Product
Kita sudah tahu bahwa cross dan dot product memilii sifat distributif. Lalu, bagaimana jika sudutnya 0. Tentu kita sudah tahu. Di sini, dibahas sifat-sifat yang tidak diberikan secara eksplicit (dan juga jarang terpakai):Sifat-Sifat Khusus Cross Product
1.
=====> Untuk Membutikannya, cukup jabarkan ruas kiri. Lalu ubah
menjadi=====>
.2.
Langganan:
Postingan (Atom)
