MODULO

Melanjuti topik yang sebelumnya, keterbagian, kali ini topik yang dibahas adalah modulo. Teori modulo (Latin) diperkenalkan oleh seorang matematikawan bernama Carl Friedrich Gauss tahun 1801 dalam bukunya yang berjudul “Disquisitiones Arithmaticae”.

_____Modulo mempelajari sisa hasil bagi (reminder). Misalnya: berapakah sisa 100 dibagi 9? Dan, jawabnya adalah 1. Di sini, kita dapat menuliskannya menjadi: 100 mod 9 = 1 atau mod (100,9) = 1. Sebagai pengetahuan pula, 100 di sini dikatakan sebagai dividend, sedangkan 9 adalah divisor. Seringkali dalam bahasa pemrograman, mod dituliskan dalam simbol lain seperti % (dalam bahasa C).

_____Ada istilah “kongruen modulo”. Apa itu? Itu jika sisanya sama. Misalnya: 100 mod 9 = 1 dan 91 mod 9 = 1, maka dapat dikatakan bahwa 100 dan 91 itu kongruen modulo 9.

_____Nah, pengantarnya sudah selesai. Sekarang kita akan memasuki babak yang sangat seru dengan berbagai contoh soal yang menarik. Ayo kita sikat..!!

======================================================================
Kaidah 1: Kaidah dasar modulo yang totally gampang

a mod n = (b*n + c) mod n = c mod n , dimana b adalah bil. bulat

Soal 1: Berapakah sisa 4 dibagi 5? Jawab: 4 mod 5 = 4
Soal 2: Berapakah sisa 99 dibagi 13? Jawab: 99 mod 13 = (7*13+8)mod 13 = 8 mod 13 = 8
Soal 3: Berapakah sisa 100 dibagi 34?
Jawab: 100 mod 34 = ((3*34)-2)mod 34 = -2 mod 34 =((-1)*34+32)mod 34 = 32 mod 34= 32

Kaidah 2: Penjumlahan / Pengurangan merupakan Linearitas modulo

(a+b) mod n = ((a mod n) + (b mod n)) mod n

Soal 4 : Berapakah sisa (8+15+22) dibagi 7?
Jawab: (8+15+22) mod 7 =(8 mod 7 + 15 mod 7 + 22 mod 7) mod 7= (1+1+1) mod 7
_____= 3 mod 7 = 3

Soal 5 : Berapakah sisa (1992+1993+1994+…+ 1999) dibagi 2000?
Jawab :(1992+1993+1994+…+1999)mod 2000 = (-8-7-6-5-4-3-2-1) mod 2000
______= (-36)mod 2000 = (( -1)*2000+1964)mod 2000 = 1964 mod 2000 = 1964

Kaidah 3: Lagi-lagi, Perkalian juga linearitas modulo.

(a*b) mod n = ((a mod n) * (b mod n)) mod n

Bukti:
(a*b) mod n = ((pn + c)*(qn + d))mod n = (pqn² +dpn+cqn+cd)mod n = cd mod n. Karena c= a mod n dan d = b mod n, maka rumus di atas terbukti.
(Note: p dan q adalah bil. bulat)

Soal 6: Berapakah sisa (4*6) dibagi 5?
Jawab: (4*6) mod 5 = ((4 mod 5)*(6 mod 5)) mod 5 = (4*1) mod 5 = 4 mod 5 = 4

Soal 7: Berapakah digit terakhir dari (1996*1997*1998*1999)?
(Hint: mengenai digit terakhir, artinya sama dengan “berapakah sisanya jika dibagi 10”)
Jawab: (1996*1997*1998*1999) mod 10 = (6*7*8*9) mod 10 =(42*72) mod 10 =(2*2)mod 10 = 4

Kaidah 4: Modulo Bentuk Pangkat. Ini sama Saja Dengan Perkalian.!!

a^b mod n = ((a mod n)^b)mod n , b adalah bil.bulat

Soal 8: Berapakah sisa 3¹⁰⁰⁰ dibagi 4?
Jawab: 3¹⁰⁰⁰ mod 4 = ((1*4-1)¹⁰⁰⁰)) mod 4 = 1 mod 4 =1

Soal 9:Berapakah sisa jika 3²⁰⁰⁹ jika dibagi 41?
Jawab: (3²⁰⁰⁹) mod 41 = (9¹⁰⁰⁴*3) mod 41 = (81⁵⁰²*3) mod 41 = ((41*2-1)⁵⁰²*3)mod 41
______= ((-1)⁵⁰²*3)mod 41 = (1*3)mod 41 = 3 mod 41 = 3

Soal 10: Apakah 54⁵⁴ + 55⁵⁵ + 56⁵⁶ habis dibagi 7?
(Hint: jika menggunakan modulo, cek apakah sisanya 0 atau bukan)

Jawab: (54⁵⁴+55⁵⁵+56⁵⁶)mod 7
_____= (54⁵⁴mod 7+ 55⁵⁵ mod 7+ 56⁵⁶ mod 7)mod 7
_____= ((7*7+5)⁵⁴mod 7+ (8*7-1)⁵⁵ mod 7+ (8*7+0)⁵⁶ mod 7)mod 7
_____= (5⁵⁴mod 7+ (-1)⁵⁵ mod 7+ 0 mod 7)mod 7
_____= (5⁵⁴mod 7+ 6)mod 7
_____= (25²⁷mod 7+ 6)mod 7
_____= ((3*7+4)²⁷mod 7+ 6)mod 7
_____= ((4)^3*9mod 7+ 6)mod 7
_____= ((64)⁹mod 7+ 6)mod 7
_____= ((7*9+1)⁹mod 7+ 6)mod 7
_____= (1⁹mod 7+ 6)mod 7
_____= 7 mod 7
_____= 0 ____________Karena, sisanya 0, maka dapat habis dibagi 7.
(Thx for ac for the correction.. ^^)

Penyelesaian modulo dapat diselesaikan dengan berbagai cara. Misalnya no.8, dapat dijawab dengan cara lain: 3¹⁰⁰⁰ mod 4 = 9⁵⁰⁰ mod 4 = (2*4+1)⁵⁰⁰ mod 4 = 1⁵⁰⁰ mod 4 = 1 mod 4 = 1.

======================================================================

Bentuk Lain

Notasi yang kita gunakan di sini adalah notasi "=". Untuk selanjutnya, kita akan sering menemui bentuk seperti ini:

Contoh:

yang artinya akan sama seperti bentuk yang kita pelajari sebelumnya, yaitu:

Bentuk yang lebih dipakai adalah karena bersifat umum dan internasional.
======================================================================

Operasi-Operasi Terhadap Kongruensi Modulo pada Kedua Ruas

Jika kita sudah menemukan bentuk , kita dapat mengolahnya dengan penjumlahan, pengurangan, perkalian, ataupun pembagian terhadap kedua ruas..

Penjumlahan Kedua Ruas:

Jika kedua ruas ditambah dengan d,maka hasilnya adalah:

Contoh:

Kedua ruas ditambah 4, hasilnya:

Dapat dicek bahwa pernyataan terakhir adalah Benar, karena 14 = 3 x 3 + 5.


Pengurangan Kedua Ruas:
(sama seperti penjumlahan)

Jika kedua ruas dikurang dengan d,maka hasilnya adalah:

Contoh:

Kedua ruas dikurang 2, maka hasilnya:

Dapat dicek bahwa pernyataan terakhir adalah Benar, karena 8 = 3 x 3 -1.


Perkalian Kedua Ruas:

Jika kedua ruas dikali dengan d, maka hasilnya adalah:

Contoh:

Kalikan 2, hasilnya:

Pembagian Kedua Ruas:

Jika kedua ruas dibagi dengan d, maka hasilnya adalah:

Bukti:

Kita tahu bahwa jika , maka atau .
Karena dan koprima, maka .
Akibatnya:

TERBUKTI.

Contoh 1:

Bagi kedua ruas dengan 5:

Contoh 2:

Bagi kedua ruas dengan 2: