Mengenal Bilangan Kompleks

Bilangan Bulat? Itu sudah biasa.. Kalau bilangan bulat dikembangkan lebih luas maka bilangan bulat itu masuk di himpunan bilangan rasional. Nah, bilangan rasional dan irasional itu termasuk dalam rumpun bilangan REAL. Lalu, gabungan antara himpunan REAL dan IMAJINER adalah himpunan BILANGAN KOMPLEKS.

Lingkaran yang paling besar itu menunjukkan himpunan bilangan kompleks, memperlihatkan betapa luasnya himpunan bilangan kompleks. Hmm.. Di post ini, kita akan mengenal bilangan kompleks. Tapi, hanya dasarnya saja. Untuk pengembangan lebih lanjut, akan kupost kapan2.. hahaha.. XD

=========================================================================

BAGIAN I
DEFINISI BILANGAN KOMPLEKS

Dari prakata di atas, kita tahu bahwa bilangan kompleks adalah gabungan antara bilangan Real dengan bilangan Imajiner.

Sekilas tentang bilangan imajiner.
Bilangan imajiner adalah bilangan yang merupakan akar kuadrat dari suatu bilangan negatif. Misalnya, , , , dan masih banyak lagi..
Lalu, di sini kita akan berurusan dengan bilangan . Kita definisikan bahwa = , maka:
Oleh karena itu, dapat kita tulis juga menjadi , maka dapat ditulis sebagai .

Banyak sekali orang yang keliru mengoperasikan bilangan imajiner.
Misalnya: = = = 5. (ini salah!!)
Seharusnya: = = 5. = (1).5 = 5
Untuk menghindari kesalahan, selalu konversikan bilangan imajiner ke dalam bentuk (ini dinamakan sebagai bentuk standar). ^^

Simbol mempunyai sifat = = 1. Untuk pangkat yang lebih tinggi, kita tinggal ngotak-ngatik. = = . Lalu, = = 1. Untuk seterusnya, silakan dicoba sendiri. ^^. Not difficult.

NOTASI
Bilangan kompleks (z) terdiri dari gabungan bilangan Real dan Imajiner. Oleh karena itu, dapat kita notasikan dengan hubungan penjumlahan.

z = x + y

Notasi di atas menunjukkan bahwa x adalah bagian REAL, sedangkan y adalah bagian imajiner murni. Bilangan x dan y, keduanya adalah bilangan REAL.

Himpunan bilangan kompleks digambarkan pada bidang kompleks, dan suatu bilangan kompleks digambarkan dengan sebuah titik pada bidang kompleks. (Lebih mudahnya, ini seperti menggambar titik pada koordinat x dan y, di mana x merupakan bagian REAL, sedangkan y adalah bagian IMAJINER.)

Langsung saja kita ke contoh pemahaman.. Daripada nanti kebingungan.. ^^

Contoh Soal 1:
Ada 4 bilangan kompleks yang disimbolkan z1, z2, z3, dan z4.
z1 = 3 + 6.
z2 = -3+2.
z3 = -2-2.
z4 = 4 - 3.
Gambarkan titik-titik z1, z2, z3, dan z4 di bidang kompleks!

Jawab:
Kita buat koordinat x dan y, di mana z=x + y. 4 titik itu digambar sebagai berikut.

Contoh Soal 2:
Suatu bilangan kompleks z dinotasikan sebagai z = (x + y).
Jika z = , tentukan x dan y. Lalu, gambarkan z dalam bidang kompleks!

Jawab:
Bentuk z diubah dulu atau disederhanakan.. ^^
z =
z =
z =
z =
z =
Nah, di sini didapat bahwa x=5 dan y = .
Ini adalah lokasi titik z di bidang kompleks:

Titik yang berwarna merah adalah titik yang dimaksud. ^^

Contoh Soal 3 (pemahaman):
Bisakah kamu memberi contoh bilangan yang bukan bilangan kompleks?

Jawab:
Bilangan yang bukan kompleks adalah bilangan yang mengandung bilangan yang tidak imajiner dan tidak real juga.. Misalnya , , dan masih banyak lagi.. Tapi, ini yang masih menjadi kendala.. Apakah , , dan sebagainya itu masih bisa disebut bilangan?? Sejauh saya belajar, tak pernah ada pembahasan mengenai bilangan nonkompleks...

Contoh Soal 4 (pemahaman):
Suatu bilangan kompleks z dinotasikan sebagai z = (x + y).
Tentukan nilai x dan y dari bilangan:
(i) 0
(ii)5
(iii)

Jawab:
(i) 0 = 0+ o. Jadi, x=0 dan y=0.
(ii) 5 = 5+0. Jadi, x=5 dan y=0.
(iii) = 0+ . Jadi, x=0 dan y=.

Contoh Soal 5:
Jika z1 = z2 = z3.
z1 = c + a.
z2 = b + 2c.
z3 = a+2 - d.
Tentukan a, b, c, d dan z1, z2, dan z3!

Jawab:
Di sini, kita harus tahu bahwa 2 bilangan kompleks p + q dan r+s dikatakan sama jika dan hanya jika p = r DAN q = s.

Oleh karena itu, kita tinggal menghubung-hubungkan koefisiennya.. ^^

z1 = z2 = z3

c + a = b + 2c = a+2 - d.

c = b = a+2 ... (i)
a = 2c = -d ... (ii)

c= a+2
Substitusikan nilai c ke persamaan 2
a = 2(a+2)
a = 2a + 4
a = -4
Secara otomatis, kita dapatkan nilai d = 4. c=-2. b = -2. (Substitusi biasa)

Kita dapatkan z1 = z2 = z3 = c + a = -2 -4.

=========================================================================

BAGIAN II

OPERASI BILANGAN KOMPLEKS

Di sini akan dijelaskan operasi bilangan kompleks yang meliputi penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian.. Langsung ke contoh soal.

Contoh Soal 6 (penjumlahan):
(3+2)+(-2+7) =....
Jawab:
(3+2)+(-2+7) = 3 + 2 -2 + 7 = 1 + 9.

Contoh Soal 7 (pengurangan):
(2-3)-(8-2)=....
Jawab:
Dikerjakan sama seperti penjumlahan..
(2-3)-(8-2) = 2 -3 -8 +2 = -6 -.

Contoh Soal 8 (perkalian):
(3+4)(2-5) = ....
Jawab:
Lakukan perkalian biasa terlebih dahulu.
(3+4)(2-5) = 6 -15 + 8 -20.
Lalu ubah menjadi 1.
(3+4)(2-5) = 6 -15 + 8 +20 = 26 -7.

Contoh Soal 9 (pembagian):
= ....
Jawab:
Lihat bagian penyebut, yaitu 3+4i. Maka, sekawan/konjugatnya adalah 3-4i. Kalikan bilangan konjugat ini di pembilang dan penyebut.. (lihat langkah di bawah).
=
====-=
====-=
====-=
====-=

Contoh Soal 10 (pemangkatan Sederhana):
Jika z = 3-. Tentukan .
Jawab:
Hasil dari pemangkatan dapat diselesaikan dengan dalil De Moivre. Namun, karena kita belum belajar hal itu, kita akan mengalikannya secara biasa.
= (3-)(3-)(3-) = (9-6-1)(3-)=(8-6)(3-)=24-8-18-6=18-27.

=========================================================================
Note: bilangan kompleks jika digunakan di koordinat polar dapat menjadi sangat fleksibel dan *luar biasa*.. Di sini, akan muncul "Dalil Moivre" juga. Rumus-rumus euler dapat diturunkan dari definisi bilangan kompleks di koordinat polar.