Mengenal Dot dan Cross Product

Dalam pembelajaran tentang vektor, kita tidak bisa terlepas dari dot dan cross product.. Apa itu dot dan cross vektor? Lebih jauh lagi, darimana rumus dot dan cross itu berasal? Bagaimanakah contoh soalnya?

Silakan baca lanjutannya.. ^^

=========================================================================

Bagian I
Sekilas Tentang Vektor

Vektor adalah garis yang memiliki panjang dan arah. Simbol untuk vektor, bisa berupa overline variable (misalnya: atau ) bisa juga dalam simbol dot to dot variabel (misalnya: atau , yang artinya titik dimulai dari pangkal A ke titik B).

Vektor dapat ditulis dalam bentuk matriks kolom.
Misalnya: =>
Vektor dalam bentuk matriks kolom dapat dibuat lebih *hemat tempat* dengan pemberian unsur transpos matriks. Jadi, matriks juga dapat ditulis dalam bentuk . Simbol T berarti *tranpos*.

Selain itu matriks dapat ditulis dalam bentuk penambahan vektor-vektor satuan.
Sebagai contoh: = 3 + 5. (Bentuk ini adalah bentuk yang paling efektif, karena menunjukkan elemen vektor satuan.. Tapi, kurang enak dibaca.. ~~a)
Di sini adalah vektor , sedangkan adalah vektor .

Operasi vektor bisa berupa:
1. Penjumlahan (dan pengurangan): tinggal menjumlahkan elemen-elemen vektor yang sesuai
2. Perkalian dengan skalar (menghasilkan vektor yang sejajar dengan vektor awal)
3. Perkalian dengan vektor (akan dibahas lebih lanjut).

Contoh Soal 1: Jika = dan = , maka berapakah + ?
Jawab: + = + = =

Contoh Soal 2: Jika = 2 + 5 -8, maka berapakah 2?
Jawab: 2 = 2(2 + 5 -8) = + 5 -16. (bentuk ini adalah bentuk lain dari vektor. Lihat penjelasan awal).

Contoh Soal 3: Jika = 6 -5 -, dan = 3 + , dan = -2 +5, dan = 2 - + 2, maka berapakah ?
Jawab: = 2(6 -5 -) - (3 + ) + 2(-2 +5) = 12-10-2-3--4+10
_________= 5 - 3
Atau dapat juga ditulis = .

Panjang vektor dapat ditentukan dengan konsep phytagoras. (perhatikan simbol untuk panjang vektor)..
Contoh soal 4: jika = , berapakah panjang .
Jawab: Panjang vektor = = = .

Contoh soal 5: Jika = +3+5+7+9 + 11. Tentukan panjang vektor !

Jawab: = =

Vektor satuan adalah vektor yang panjangnya 1 satuan. Lambang vektor satuan bermacam-macam. Di sini akan digunakan simbol .
Contoh Soal 6: = . Apakah vektor adalah vektor satuan?
Jawab: = = 1. Maka adalah vektor satuan (karena panjangnya 1)

Contoh soal 7: Terdapat vektor dimana = 2 + 6j +5k.Tentukan vektor satuan yang searah dan sejajar dengan vektor .
Jawab:
Tentukan panjang vektor = = =
Syarat sejajar dan searah, vektor itu harus dikalikan konstanta yang positif.
= c. ... (i)
Syarat ini juga dipenuhi untuk *panjang* vektor. Jadi:
= c.
Panjang vektor satuan adalah 1. Jadi:
1 = c.
Maka, c = = .
Subtitusikan nilai c ini di persamaan awal, maka didapat:
= = = .

Contoh soal 8: Berapakah vektor satuan dari vektor (yang ada di contoh soal nomor 3)?
Jawab:
Soal ini identik dengan soal nomor 7 (hanya beda kata-kata).
Di soal ini, kita mencoba memakai rumus vektor satuan, yang logikanya sudah ada di contoh soal nomor 7.

=

Jadi, = = = .

Vektor Posisi adalah vektor yang berpangkal dari koordinat O, bisa (0,0) atau (0,0,0), dan seterusnya.
Misalnya: = =>

Contoh soal 9: Jika = , sedangkan = . Tentukan vektor !
Jawab:
Dengan digambar, maka kita tahu bahwa + = , maka:
= = =

Ruang Dimensi Vektor menunjukkan di dimensi mana vektor itu berada. Misalnya, vektor itu terletak di dalam ruang, maka dia akan berada di dimensi 3 atau di . Jika vektor itu terletak di bidang, maka vektor itu berada di dimensi . Lalu, apakah dimensi 4 itu ada? Bagaimana cara menggambar vektor di dimensi 4 atau lebih? Hmm..

Sebetulnya, vektor dimensi 4 atau lebih itu ada, tapi vektor ini bersifat *khayal*, dan tidak bisa digambar.

Apakah Dot dan Cross Product berlaku untuk dimensi 4, 5, dan seterusnya...??
Tidak!! Cross Product hanya berlaku di . Namun, dot bisa berlaku di semua dimensi. Namun, pembuktian untuk dot product di dimensi 4 (atau lebih) masih belum ada (dan tidak akan ada). Jadi, kita sebaiknya lihat pembahasan Dot dan Cross Product di dan saja yach.. ^^

=========================================================================

Bagian II
Dot Product

Dot () Product adalah bentuk perkalian antara 2 vektor yang akan menghasilkan skalar, yang didefinisikan dalam rumus:

= . .

adalah sudut yang dibentuk oleh kedua vektor dan .

Mengapa hasilnya skalar?
Masing-masing unsur dari , , dan adalah skalar. Jadi, juga skalar. (Lihat juga pembahasan tentang cross product. Mungkin akan memperjelas. ^^)

Mengapa Dot Product didefinisikan seperti itu?
Justru itulah masalahnya. Si pembuat definisi itu memang sangat kreatif. Mulanya, untuk mengalikan vektor dan , maka akan ada tiga unsur yang berperan, yaitu panjang , panjang , dan sudut yang dibentuk keduanya (). Definisi untuk dot diambil unsur yang cos. ^^

Apa arti dari hasil perkalian itu?
Kalo ngak *diolah* lebih lanjut, hasil dari . . sesungguhnya tidak memiliki arti. . . hanya kumpulan angka-angka saja dan angka itu tidak menunjukkan besaran apapun (bagi saya). Oleh, karena itu dot product harus diolah lagi agar dapat diaplikasikan. ^^

Contoh soal 10:
Diketahui di dimensi 3 (), terdapat vektor dan .
= .
Didapat bahwa, ternyata: ( ) = .
Tentukan besar sudut yang dibentuk antara dan !
Jawab:

( ) = . . . = . = 1

= 1 = Jadi, =

Contoh Soal 11:
Jika = 4, berapakah ?

Jawab:

= . (kita tahu bahwa vektor dan itu sudutnya 0⁰)
=
= 16

Karakteristik Dot Product
Di sini kita akan bermain-main dengan vektor satuan. Kita akan melihat vektor di dimensi ruang (), jadi akan ada 3 vektor basis di sini yaitu , , dan .
= , =, dan =
Sesuai dengan definisi Dot Product, maka didapat karakteristik sebagai berikut.
=||.||. = 1 (ingat bahwa sudut yang dibentuk adalah 0⁰)
=||.||. = 1
=||.||. = 1
Selain itu, nilainya adalah nol. Lihat di bawah.
=||.||. = 0 (karena sudut yang dibentuk adalah 90⁰)
=||.||. = 0
=||.||. = 0
=||.||. = 0
=||.||. = 0
=||.||. = 0
Sifat yang dimiliki dot product ini adalah komutatif (dibolak-balik hasilnya sama.. ^^)

Dengan melihat karakteristik itu, maka kita dapat mengalikan tanpa perlu tahu sudutnya. Lihat penguraian di bawah.
= ++
= ++

= (++)(++) = +++ ====+++ ====++ = ()+ ()+()+ ++++()+()+()+ ====()+()+() = ++

Contoh Soal 12:
Jika = dan = , berapa sudut yang dibentuk oleh kedua vektor itu?
Jawab:
=
(-1)(4)+(2)()+(3)(-1) = . .
-6 = . .
-6 = 15,5403 (menggunakan kalkulator)
= - 0,386
= 112,71⁰ (menggunakan kalkulator)

Ternyata dot vektor dapat digunakan untuk menghitung sudut dengan rumus:

=

Proyeksi Vektor
Di contoh soal di atas, dot product dapat digunakan untuk mencari sudut apit. Namun, sesungguhnya dot vektor dapat digunakan untuk kemampuan yang lebih, yaitu mencari vektor proyeksi. Lihat penjelasan di bawah.

Misalkan diberikan vektor dan . adalah proyeksi vektor ke , maka dapat digambarkan sebagai berikut. (Sebenarnya, pangkal vektor dan tidak harus berhimpit, namun, dianggap demikian supaya lebih mudah dipahami).

Pertama, tama kita akan mencoba mencari panjang vektor .
Sesuai dengan aturan trigonometri: = ... (i)
Sesuai dengan operasi dot vektor: = ... (ii)
Gabungkan kedua persamaan di atas, maka akan kita dapatkan rumus untuk

=

=

Karena dan berhimpit, maka dapat kita simpulkan bahwa vektor satuan dari sama dengan vektor satuan dari .

=

Ingat rumus untuk vektor satuan sebelumnya, maka persamaan di atas menjadi:

=

=

Substitusikan nilai , maka didapat:

= (vektor proyeksi dari ke )

Untuk mencari vektor proyeksi dari ke , maka kita tinggal ganti simbol:

= (vektor proyeksi dari ke )

Contoh Soal 13:
Di dimensi 2 (), terdapat 2 buah vektor, yaitu dan .
=
=
Tentukan (proyeksi pada ) dan (proyeksi pada )!

Jawab:
Kasus di atas dapat digambarkan sebagai berikut ( dan dianggap sebagai vektor posisi)

Vektor proyeksi dari ke = = = = .
Vektor proyeksi dari ke = = = = .

Contoh Soal 14:
Diketahui vektor dan bukan (vektor yang panjangnya 0) memenuhi kondisi berikut.

= 2 = .

Sudut yang dibentuk dan adalah . Tentukan !

Jawab:
Ini adalah soal vektor yang tricky. Mungkin pada awalnya kita kesulitan karena bingung memulai dari mana. Tapi, kita bisa memulai dari apa yang ditanyakan. selalu berhubungan dengan , maka inilah hal yang pertama kali kita lakukan.
=
Substitusi nilai = 2 :
= 2 .
= 2 ... (i)

Lalu, kita tinggal menentukan untuk mengolah . Supaya lebih mudah, maka sebaiknya kita kalikan vektor dengan dirinya sendiri.
= + 6 ( ) + 9 ( )
= + 6 ( ) + 9
Karena = (diketahui di soal), maka persamaan tersebut menjadi:

= + 6 ( ) + 9
6 ( ) = 9
= ... (ii)

Substitusikan persamaan (ii) ke (i), maka:

= 2

=

=========================================================================

Bagian III
Cross Product

Kita tahu bahwa dot vektor sangat berperan dalam perhitungan sudut dan vektor proyeksi. Keistimewaan dot terletak pada yang membuat perkalian vektor bersudut 90⁰akan bernilai nol, sehingga mempermudah perhitungan. Lalu, bagaimana dengan cross product?

Cross () Product adalah bentuk perkalian antara 2 vektor yang akan menghasilkan vektor yang tegak lurus dengan kedua vektor itu di dalam dimensi 3, yang didefinisikan dalam rumus:

= . . .

di sini adalah vektor satuan yang tegak lurus dengan vektor dan tegak lurus dengan vektor .

Apa hasil dari cross product itu?
Hasil dari cross product adalah vektor yang tegak lurus dengan vektor dan vektor . Kenapa bisa begitu? Ini karena pengaruh perkalian vektor-vektor satuan dan . Untuk lebih jelasnya, bisa dilihat di bagian karakteristik cross product.

Sementara, jika kita ingin meng*skalar*kan cross product, maka unsur dapat kita hilangkan, maka rumusnya menjadi:

= . .

Di sini, kita tahu bahwa . . adalah rumus Luas jajargenjang. Wah, ternyata kita bisa mencari luas jajargenjang dari sudut pandang vektor! ^^

Mengapa cross product dapat menghasilkan vektor sedangkan Dot Product tidak?
Sebetulnya dot product bisa menghasilkan vektor jika dikalikan lagi dengan vektor satuan. Namun, dot product sengaja tidak menghasilkan vektor karena di sinilah aplikasi dot vektor yang banyak digunakan (mencari sudut dan vektor proyeksi). Lalu, jika ingin memberi arah, kita tinggal mengalikannya dengan vektor satuan yang arahnya terserah kita (di sini dot vektor bersifat dinamis).

Sementara itu, cross vektor juga sebenarnya bisa jika didefinisikan sebagai ini saja: . . karena bisa diaplikasikan dalam mencari luas jajargenjang. Namun, fungsi ini masih terlalu sederhana (bagaimana kita mendefinisikan dengan , tentunya nilai keduanya harus berbeda dan tidak mungkin kita mendefinisikan keduanya adalah 1 meskipun keduanya tegak lurus). Unsur pada cross vektor sungguh *mempesona*. Pada saat sudut yang dibentuk adalah 90⁰ (yang berarti hasil sin-nya adalah 1), maka kita dapat memodifikasinya dengan pemberian arah vektor yang saling ortoghonal (tegak lurus) kedua vektor, berbeda jika kita menggunakan cos pada dot product. Ini juga bisa memberikan solusi bagi nilai dengan (sebagai contoh) supaya tidak sama.

Mengapa Cross Product hanya berlaku di dimensi 3 saja?
Untuk membuat vektor yang tegak lurus diperlukan vektor basis yang saling tegak lurus juga. Lalu, di dimensi 4, bisakah kita menemukan 4 vektor yang saling tegak lurus?

Sebenarnya di dimensi 2, cross product bisa saja kita gunakan karena dimensi 2 adalah bagian dari dimensi 3. Namun, mungkin hasil yang dipakai hanyalah sebatas , karena tidak dapat digunakan di dimensi 2.

Karakteristik Cross Product
Di dimensi 3 terdapat 3 vektor basis sebagai berikut.
= , =, dan =
Vektor yang tegak lurus ada 2 arah (berlawanan). Supaya konsisten, maka kita tentukan arahnya dengan aturan tangan kanan. Ini dilakukan supaya hasilnya **konsisten** dan **universal**. Jadi, ini semacam aturan umum saja. (Sebenarnya jika kita memakai aturan tangan kiri, kita akan mendapatkan hasil yang tegak lurus juga, namun hasilnya negatif. Sebenarnya, ini boleh saja dilakukan).

Sesuai dengan definisi di atas, maka didapat karakteristik sebagai berikut.
= (karena sudutnya 0⁰)
=
=

= =

-----

= =

----

= =

Terlihat bahwa perkalian cross product tidak bersifat komutatif..

Sekarang kita coba mengoperasikan
= ++
= ++

= (++)(++) = ()+()+()+ =====()+()+() + =====()+()+() = .+.+()+ =====()+.+.+ =====.+()+ = ( )( )+( ) (Supaya dapat lebih mudah dibaca *dan dihapal*, kita gunakan konsep determinan) = (gunakan cara Sarrus untuk mencari determinan ordo 3x3)

Maka, akan didapat vektor yang tegak lurus dan .

Contoh Soal 15:
Di , terdapat vektor dan .
= dan = . Tentukan dan .
Jawab:
= = =
(Determinan 3x3 di atas dapat diselesaikan dengan cara Sarrus biasa..)
= = =
dapat kita lihat bahwa: = -().

Contoh Soal 16:
Dari contoh soal 15, berikan 5 contoh vektor yang tegak lurus dengan vektor dan vektor !
Jawab:
Kita sudah menemukan 2 vektor yang tegak lurus, yaitu: , dan .
Berikutnya, kita tinggal menemukan vektor-vektor yang sejajar dengan vektor itu. Jadi, kita hanya mengalikan konstanta sesuka apapun yang kita mau.
Misalnya:
Kalikan dengan , maka hasilnya: ==> ini contoh yg ke-3
Kalikan dengan 3, maka hasilnya: ==> ini contoh ke-4
Kalikan dengan 2, maka hasilnya ==> ini contoh ke-5
Tentunya, akan ada banyak jawab. Intinya, kita cukup mengalikan dengan konstanta apapun... ^^

Contoh Soal 17:
Tentukan persamaan bidang yang melalui titik (0,1,2) dan terdapat vektor dan di bidang itu!

Jawab:
Pertama, tentukan dulu (kita sudah mendapatkannya di soal nomor 15)
Nah, itulah yang disebut dengan vektor normal. Vektor normal adalah karakteristik yang dimiliki oleh bidang. (kalau karakteristik gradien dimiliki oleh garis). Nah, kita tinggal mengikuti rumus persamaan bidang berikut:

pers. bidang:

Kita sudah mendapat salah 1 contoh vektor normal di contoh nomor 16, yaitu .
Substitusikan nilai 3 di n1, 6 di n2, dan -5 di n3. Maka, persamaan bidangnya menjadi:

Bidang itu melalui titik (0,1,2). Oleh karena itu, substitusikan nilai 0 di x1, 1 di x2 dan 2 di x3. Maka persamaannya menjadi:

pers. bidang:

Contoh soal 18: Tentukan persamaan bidang yang melalui titik A(0,1,-3), B (2,4,-1), dan C(-2,3,5)!
Jawab:

Tentukan 2 vektor yang terletak pada bidang. Di sini, kita mencari vektor dan . (Boleh mencari yang lain).
= =
= =
Sekarang kita cari vektor yang tegak lurus dengan kedua vektor ini. Caranya? Ya, menggunakan cross product!!
= = =

Sekarang tinggal memasukkan nilai-nilai itu ke persamaan bidang:

Masukkan n1=20 , n2=-20, n3 = 10

Bagi persamaan dengan 10, supaya lebih sederhana.

Nah, sekarang masukkan titik yang terletak pada bidang. Terserah kalian ingin memasukkan titik A, atau B, ataupun C, karena semua titik akan menghasilkan hasil yang sama.
Di sini, kita masukkan titik A (0,1,-3). Berarti x1=0.x2=1. x3=-3.

pers bidang:

(Contoh Soal lainnya akan menyusul)

=========================================================================

Bagian IV
Sifat-Sifat Khusus Cross Product

Kita sudah tahu bahwa cross dan dot product memilii sifat distributif. Lalu, bagaimana jika sudutnya 0. Tentu kita sudah tahu. Di sini, dibahas sifat-sifat yang tidak diberikan secara eksplicit (dan juga jarang terpakai):
1.
=====> Untuk Membutikannya, cukup jabarkan ruas kiri. Lalu ubah menjadi
=====>.
2.